¿Cómo puedo encontrar el CDF y el PDF de $Y$ ?

Question

Problema

Dejemos que $X$ ser un $\operatorname{Uniform}(0,1)$ variable aleatoria, y dejemos que $Y=e^{-X}$ .

Encuentre la FCD de $Y$ .

Encuentre el PDF de $Y$ .

Encuentre $\mathbb E[Y]$ .

Mi problema

Si resuelvo el rango de $y$ Me sale $\left(1, \frac 1e \right)$ sino porque $Y$ no es una función creciente, mi segundo límite es menor que el primero. Estoy realmente confundido en cuanto a cómo podría resolver la CDF y la PDF en este caso... Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para $y$ en el intervalo $(1/e,1)$ tenemos $$\small F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=\Pr(e^{-X}\le y)=\Pr(-X\le \ln y)=\Pr(X\ge -\ln y)=1-(-\ln y)=1+\ln y.$$ Para completar, añadimos que $F_Y(y)=0$ si $y\le 1/e$ y $F_Y(y)=1$ para $y\ge 1$ . Obsérvese, en el cálculo anterior, el cambio en el sentido de la desigualdad, cuando $\Pr(-X\le \ln y)$ fue sustituido por $\Pr(X\ge -\ln y)$ .

Ahora el pdf es fácil de encontrar. Para $E(Y)$ podemos utilizar el nuevo pdf de $Y$ o bien evitar la distribución de $Y$ por completo, la informática $\int_0^1 e^{-x}\,dx$ .