Usted se encuentra en la siguiente situación. Usted tiene un grupo de Lie $H$ (no quiero usar la letra $G$ aquí, ya que lo estás usando) y un sistema de ecuaciones suaves $f_1,..., f_n: H\to\Bbb R$ para que $G:=\bigcap_i f^{-1}_i(\{0\})$ es un subgrupo de $H$ . ¿Cómo se puede determinar el álgebra de Lie de $G$ ? Bueno: $v\in T_1H$ es tangente a $G$ si las ecuaciones $f_i$ permanecen sin cambios cuando se perturba en la dirección $v$ . Esto significa que $v\in \bigcap_i\ker( d_1f_i)$ y se obtiene otro sistema de ecuaciones $d_1f_i(v)=0$ determinar los elementos del álgebra de Lie.
En su ejemplo tiene $13$ ecuaciones, por un lado están las ecuaciones $$g_{11}-g_{22}=0, \quad g_{11}-g_{33}=0, \quad g_{11}-g_{44}=0\\ g_{21}+g_{12}=0,\quad g_{21}-g_{43}=0,\quad g_{43}+g_{34}=0\\ g_{31}+g_{42}=0,\quad g_{31}+g_{13}=0, \quad g_{31}-g_{24}=0\\ g_{41}-g_{32}=0,\quad g_{41}+g_{23}=0,\quad g_{41}+g_{14}=0$$ así como la ecuación $$g_{11}^2+g_{21}^2+g_{31}^2+g_{41}^2-1=0.$$
Si se toman los diferenciales en $1$ de esto las primeras ecuaciones permanecen sin cambios, ya que son lineales, pero la última ecuación se convierte: $$2v_{11}\cdot 1+2v_{21}\cdot 0+2v_{31}\cdot 0+2v_{41}\cdot 0=0.$$
Ahora se pueden combinar estas ecuaciones con la condición adicional de que los elementos del álgebra de Lie sean antisimétricos (para obtener elementos de $SO(4)$ ).
