Dejemos que $H$ y $K$ sean subgrupos normales de un grupo $G$ . Demostrar que $H \cap K $ es un subgrupo normal de $G$

Question

Dejemos que $H$ y $K$ sean subgrupos normales de un grupo $G$ . Demostrar que $H \cap K $ es un subgrupo normal de $G$

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Mostrando $H \cap K$ es un subgrupo

$$a,b\in H\cap G\Rightarrow ab^{-1} \in H \wedge ab^{-1}G \Rightarrow ab^{-1}\in H \cap G$$

Tener problemas con $H\cap K\unlhd G$

tratando de usar lo siguiente definiciones

$N \unlhd G$

$$\begin{aligned} a^-1Na=N, \text{ forall } a\in G \\ aNa^{-1}=N, \text{ forall } a\in G \end{aligned} $$

desde $g\in H \cap K$

$$ \begin{aligned} gHg^{-1}=H \\gKg^{-1}=K \end{aligned} $$

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He leído una pregunta anterior este y no pude convencerme de la prueba.

Answer 1

Usted sabe que $H\unlhd G$ y $K\unlhd G$ . Esto significa que para cualquier $g\in G$ tenemos $ghg^{-1}\in H$ y $gkg^{-1}\in K$ , donde $h\in H$ y $k\in K$ . Así que toma cualquier $x\in H\cap K$ ya que $x\in H$ tenemos $gxg^{-1}\in H$ por el mismo argumento tenemos $gxg^{-1}\in K$ Así que $gxg^{-1}\in H\cap K$ . Así, $(H\cap K)\unlhd G$ .