Sobre el teorema " $3$ está en todas partes"

Question

En este vídeo de Numberphile se afirma que "casi todos los números naturales tienen la cifra $3$ en su representación decimal", y se propone una prueba de este hecho. A continuación se presenta un resumen de la prueba:

Denota por $D_3$ el conjunto de números naturales que tienen una cifra $3$ en su representación decimal. Para todos los $n \ge 1$ , denótese por $$f(n) = | D_3 \cap \{ 1, \dots , n\} |$$ se demuestra que para todo $n$ $$f(10^n) = 10^n- 9^n $$ se mantiene (y esto es bastante claro), por lo tanto $$\lim_{n \to + \infty} \frac{f(10^n)}{10^n} = 1$$ y con esto concluye la prueba del vídeo.

Ahora bien, esta prueba es clara y evidente para mí, pero creo que es incompleta, ya que deberíamos probar que

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{f(n)}{n} = 1$$

aunque esto no se demuestra en el vídeo. Así que mi pregunta es: ¿cómo probar esto?

EDIT: Obviamente, si el límite existe, entonces es igual a $1$ : por lo que pregunto cómo demostrar que el último límite existe realmente.

Answer 1

Tiene razón en que probar $\lim_{n \to + \infty} \frac{f(10^n)}{10^n} = 1$ no es suficiente. Puedo definir $g(n)=n$ si $n=10^k$ y $g(n)=0$ de lo contrario. Entonces tengo $\lim_{n \to + \infty} \frac{g(10^n)}{10^n} = 1$ pero $\lim_{n \to + \infty} \frac{g(n)}{n}$ no existe. Hemos demostrado que si $\lim_{n \to + \infty} \frac{f(n)}{n}$ existe, es $1$ así que todo lo que necesitamos ahora es que exista. Podemos utilizar el mismo argumento. Definir $h(n)=n-f(n)$ como la cantidad de números menores que $n$ que faltan $3$ . Muestran $h(10^n)=9^n$ . $h(n)$ es monótonamente creciente ya que cuando se pasa de $n$ a $n+1$ se añade $1$ o $0$ a $h$ . Ahora, para cualquier $k$ , dejemos que $m=\lfloor \log_{10}k \rfloor$ para que $10^m$ es el poder de $10$ justo debajo $k$ . $\frac {f(k)}k =1-\frac {h(k)}k \gt 1-\frac {9^{m+1}}{10^m}\to 1$