¿Cómo demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Question

Un anillo $R$ es un anillo booleano siempre que $a^2=a$ por cada $a \in R$ . ¿Cómo podemos demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Answer 1

Para cualquier $a, b \in R$ tenemos

$$(a+b)^2 = a+b, \text{ since R is Boolean}$$ Pero, $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ba = a + b + ab+ ba$$ Por lo tanto, $$a+b = a+b+ab+ba $$ lo que significa, $$ab = - ba \qquad \qquad \qquad (1) $$

Para cualquier $c, d \in R$ tenemos

$$(c-d)^2 = c-d, \text{ since R is Boolean}$$ Pero, $$(c-d)^2 = c^2 + d^2 - cd - dc = c + d - cd + cd = c+d$$ ( La última igualdad se desprende de la ec. (1) )

Por lo tanto, $$c+d = c-d$$ Lo que significa, $$d = -d$$

Así, la ecuación (1), $\;$ $ab=-ba$ es lo mismo que $ab=ba$ .

Por lo tanto, $R$ es conmutativo.

Answer 2

Yo mismo he resuelto esta cuestión y me pregunto cuáles son las soluciones que hay en Internet, y sin embargo como no he visto ninguna solución como la mía (muy probablemente porque mi solución no advertía que el anillo es de característica $2$ ). De todos modos, lo pondré aquí.

Para cualquier $x,y$ en el ring deja que $a=xy-yx$ entonces $$xax=x^2yx-xyx^2=xyx-xyx=0$$ y $$xay=x^2y^2-xyxy=xy-(xy)^2=0$$ por lo que $$0=(xax)y-(xay)x=xa(xy-yx)=xa^2=xa.$$ Buscando la simetría encontramos que $y(-a)=0$ y así $$ya=ya+y(-a)=y(a+(-a))=y0=0$$ por lo que $$0=x(ya)-y(xa)=(xy-yx)a=a^2=a.$$ Esto completa la prueba.

Answer 3

Quiero aportar una línea de vida: $$ \begin{aligned} ab - ba &= (ab - ba)(ab - ba)(ab - ba) \\ &= (abab - abba - baab + baba)(ab - ba) \\ &= (ab - aba - bab + ba)(ab - ba) \\&= abab - abba - abaab + ababa - babab + babba + baab - baba \\&= ab - aba - ab + aba - bab + ba + bab - ba \\&= 0. \end{aligned}$$