¿Cómo demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Question

Un anillo $R$ es un anillo booleano siempre que $a^2=a$ por cada $a \in R$ . ¿Cómo podemos demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Answer 1

HINT $\rm\quad\ \ A = X+Y\ \ \Rightarrow\ \ X\ Y = - Y\ X\:.\ $ Pero $\rm -1 = 1\ $ a través de $\rm\ A = -1$

Answer 2

Enchufe $a = x + y$ .

Answer 3

Si $x,y\in R$ entonces $xy=-yx$ . Por lo tanto,

$xy=(-yx)^2=(-yx)(-yx)=(yx)(yx)=(yx)$ .

Answer 4

Cuando llegues a la parte donde ab=-ba ab =-ba (1) Pre-multiplica a a ambos lados a(ab)=a(-ba)
a^2b=a-ba ab=a-ba (2) Postmultiplicar a a (1) (ab)a=(-ba)a aba=-ba^2 aba=-ba (3) . . . De (2) y (3) se deduce que ab=ba

Answer 5

Como señala Yuval $(x+y)^{2} = x+y$ lo que implica $x^{2} + y^{2} + x \cdot y + y \cdot x = x+y$ . Ahora, a partir de esto tienes $x \cdot y + y \cdot x =0$ .