¿Cómo demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Question

Un anillo $R$ es un anillo booleano siempre que $a^2=a$ por cada $a \in R$ . ¿Cómo podemos demostrar que todo anillo booleano es conmutativo?

Answer 1

Todo anillo booleano es de característica 2, ya que $a+a=(a+a)^2=a^2+a^2+a^2+a^2=a+a+a+a\implies a+a=0$ .
Ahora, para cualquier $x,y$ en el ring $x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+y+xy+yx$ Así que $xy+yx=0$ y por lo tanto $xy+(xy+yx)=xy$ . Pero como el anillo tiene la característica 2, $yx=xy$ .

Answer 2

Siempre me gusta saber de dónde vienen estos problemas, su historia. Esto se demostró por primera vez en un artículo de Stone en 1936. Aquí hay un enlace a ese documento para quien esté interesado:

http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1936-1501865-8

Su prueba está en el primer párrafo completo de la p. 40.

Answer 3

Si $a,b\in R$ , \begin{align} 2ba &=4ba-2ba\\ &=4(ba)^2-2ba\\ &=(2ba)^2-2ba\\ &=2ba-2ba\\ &=0, \end{align} así que \begin{align} ab &=ab+0\\ &=ab+2ba\\ &=[ab+ba]+ba\\ &=[(a+b)^2-a^2-b^2]+ba\\ &=[(a+b)-a-b]+ba\\ &=0+ba\\ &=ba. \end{align}

Answer 4

Por supuesto, esto es una vieja castaña: si está interesado en las generalizaciones típicas de este teorema de conmutatividad en un contexto más amplio y estructural (a anillos asociativos y unitarios), le sugiero que lea el hermoso libro de T.Y. Lam, Springer GTM 131 "A First Course in Noncommutative Rings", capítulo 4, §12, en particular el teorema de Jacobson-Herstein (12.9), p. 209: Un anillo (unitario, asociativo) $R$ es conmutativo si para cualquier $a,b\in R$ uno siempre tiene $(ab-ba)^{n+1}=ab-ba$ para algunos $n\in\mathbb N$ ( $n$ generalmente dependiendo de $a,b$ ). (Además, utilizando el teorema de Artin sobre la diasociatividad de las álgebras alternativas, la asociatividad de $R$ puede debilitarse a la alternatividad). Cp. también los ejercicios dados, en particular Ex. 9. Nótese que el caso booleano es especial, ya que el anillo considerado no necesita ser unitario a-priori. Saludos cordiales - Stephan F. Kroneck.

Answer 5

Queremos demostrar que $xy = yx$ para todos $x,y \in R$ . Sabemos que $(x+y)^2 = x+y$ . Así que $(x+y)^2 = (x+y)(x+y) = xx+xy+yx+yy = x+xy+yx+y = x+x^2y^2+y^2x^2+y$ . Esto equivale a $x+(xy)+(yx) + y = x+y$ para que $xy = yx$ .