Encuentra el gradiente, el hessiano y la derivada direccional de la siguiente función en [1,1] $$f(x)=x^T \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{array} \right|x + x^T \left| \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right|+6.$$ Hola, por favor, mi problema no es encontrar el gradiente o el hessiano sino cómo simplificar esta función. Gracias.
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ˈjuː.zɚ79365
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En realidad, no es necesario reescribir $f(x)=x^TAx+x^Tb+c$ para encontrar su hessiano o gradiente. Las partes lineales y constantes no contribuyen al hessiano. En cuanto al término cuadrático $x^TAx$ su matriz hessiana no es más que $A+A^T$ . Se trata de una generalización de la fórmula de una variable $(ax^2+bx+c)''=2a$ .
También se puede mantener la notación matricial al encontrar el gradiente. Escriba $x=x_0+dx $ donde $x_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$ . Entonces $$f(x)=f(x_0)+(dx)^TAx_0 + x_0^T A(dx) + (dx)^Tb +(dx)^TA(dx) \tag1$$ lo que implica $$\nabla f(x_0)= Ax_0+(x_0^TA)^T +b = (A+A^T)x_0 +b \tag2$$ Se trata de una generalización de la fórmula de una variable $(ax^2+bx+c)'=2ax+b$ .
