¿Cómo pruebo que $p^2+8$ primer implica que $p^3+4$ es primo? ¿Cuál es el patrón general de pensamiento para estos problemas?
Respuestas
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Si % prime $p\ne 3,p$puede ser escrito como $3k\pm1$ $k$ Dónde está un número entero positivo.
Por lo tanto, es divisible por $p^2+8=(3k\pm1)^2+8=3(3k^2\pm2k+3)$$3$ y $>3$ por lo tanto compuesto.
Por lo tanto, nos queda solamente un primer valor de $p,$ me... e, $3$
Más generalmente, está compuesto para cualquier % de enteros positivos $p^2+3m-1$ $m$y $3\not\mid p$
Cuando hemos encontrado $3$ puede ser sólo el valor de % prime $p,$podemos tener incontables números primeros como $p^3+4,p^3+10,p^3-2,\cdots, p^4\pm2,\cdots $
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O la pregunta (al menos la versión actual) no dice que el $p$ es primo. Aunque este es muy probablemente el significado pretendido. (La carta de $p$ es típicamente usado para denotar los números primos. Exactamente este ejercicio con la suposición de la $p$ es un número primo que aparece en muchos de los textos introductorios en la teoría de números.)
Si tomamos la pregunta en la forma en que se afirma, es decir, estamos preguntando si $p^2+8$ siendo el primer necesariamente implica $p^3+4$ ser un número primo, entonces la afirmación no es cierta.
Los argumentos de las otras respuestas nos muestran que si quieres encontrar un contraejemplo, es posible sólo con $p$ que se extraña múltiples de $3$. Y de hecho, podemos encontrar un contraejemplo: $$\begin{align} 15^2+8&=233\\ 15^3+4&=3379 \end{align} $$ 233 es un número primo, pero 3379 no es un número primo, de hecho obtenemos la factorización $3379=31\cdot109$.
