Campo eléctrico de la semiesfera

Question

Tengo que encontrar el campo eléctrico en el centro (de la base) de una semiesfera de radio R. La carga total Q (Q > 0) es uniforme en la superficie interna de la semiesfera. Aquí hay un esquema:

Y aquí está la solución:

He encontrado la primera igualdad ( $E_{z}$ = la primera integral), pero entonces me quedaba por integrar otras la superficie interna de la semiesfera.

¿Podría alguien explicarme cómo se hace? No entiendo la segunda igualdad.

Muchas gracias,

Answer 1

Vayamos paso a paso:

El punto de campo eléctrico alejado de una carga única q distancia r es: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{R^2}$

Sin embargo, como se trata de una carga repartida en un hemisferio, debemos integrar sobre la densidad de carga superficial $\sigma_{q} = \frac{Q}{2\pi R^2}$ Además, sabemos que las cargas opuestas se anulan, por lo que debemos poner veces $cos(\theta)$ en la integral

Así que tenemos: $$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}R^2}\iint_{S(A)} cos(\theta)\frac{Q}{2\pi R^2}dA = \frac{Q}{8\pi^2\epsilon_{0}R^4}\iint_{S(A)}\cos(\theta)dA$$

A continuación, descomponemos la integral de superficie en dos itegrales regulares.

Cuantitativamente esto se expresa en coordenadas esféricas como $dA = R^2sin(\theta)d\theta d\phi$

También puede considerarse cualitativamente como una superficie de revolución utilizando coordenadas esféricas, como se describe a continuación:

Primero integramos un cuarto de círculo $\theta$ de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ entonces tomamos ese cuarto de círculo e integramos una superficie de revolución alrededor del eje z con $\phi$ de $0$ a $2\pi$ que es sólo $2\pi$ . Dado que la distancia ("altura") de la superficie desde z viene dada por $sin(\theta)$ multiplicamos por eso también en la integral (porque cuanto más "bajo" sea menos girará). Este término del seno va en la segunda integral, no en la primera, a) porque también es una función de theta y b) porque si se pone $sin(\phi)$ en la primera integral la respuesta sería cero. Como la superficie de la esfera se escala con $R^2$ también debemos multiplicar nuestra respuesta por eso.

Por lo tanto, de cualquier manera tenemos:

$$E = \frac{Q}{8\pi^2\epsilon_{0}R^4}R^2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\theta)cos(\theta)d\theta d\phi = \frac{Q}{8\pi\epsilon_{0}R^2}$$

Answer 2

Desde $Q$ es uniforme, el diferencial de carga $dq$ viene dada por $$dq = \frac{Q}{\text{Area}(\Sigma)}d\sigma = \frac{Q}{2\pi R^2}d\sigma.$$ Así, $$dE_z = dE\cos\theta = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2}\cos\theta = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{2\pi R^2}\frac{d\sigma}{R^2}\cos\theta.$$ Ahora podemos escribir $$E_z = \int_{\Sigma} dE_z = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_\Sigma \frac{Q}{2\pi R^2}\frac{d\sigma}{R^2}\cos\theta.$$ En coordenadas esféricas, $d\sigma = R^2\sin \theta\, d\theta\, d\phi$ . Desde $\phi$ oscila entre $0$ a $2\pi$ y $\theta$ oscila entre $0$ a $\pi/2$ tenemos $$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_\Sigma \frac{Q}{2\pi R^2}\frac{d\sigma}{R^2}\cos\theta = \frac{Q}{8\pi^2\varepsilon_0 R^2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta\, d\theta.$$