¿Cómo lucen los puntos de Weierstrass?

Question

Como alguien que trabaja principalmente con variedades suaves y reales, siempre me he sentido un poco incómodo con los puntos de Weierstrass. Las variedades suaves son totalmente homogéneas, pero en la categoría compleja simplemente estás caminando, ocupándote de tus propios asuntos, cuando de repente te das cuenta: "¡Este punto se siente diferente de todos los demás!"

Creo que estaría más feliz si pudiera ver una característica geométrica que corresponda a los puntos de Weierstrass. Así que aquí hay una subpregunta más precisa: toma una curva compleja compacta $X$ de género $g \geq 2$, equipada con la métrica hiperbólica. ¿Está pasando algo especial para esta métrica en los puntos de Weierstrass? ¿Alguna especie de enfoque geodésico, tal vez?

Answer 1

Creo que otra interpretación está en términos de geometría euclidiana en lugar de geometría hiperbólica. Si $\omega$ es una 1-forma holomórfica en una superficie de Riemann $\Sigma$, entonces $|\omega|$ define una métrica euclidiana en $\Sigma$ con singularidades en los ceros de $\omega$. Piensa en la 1-forma como definiendo localmente un mapa a $\mathbb{C}$ y devuelve la métrica euclidiana. La métrica cerca del cero es un cono de ángulo $2\pi k$, donde $k$ es el orden del cero, ya que esto se modela localmente en el mapa $z\to z^k$. El número de ceros, contados con multiplicidad, debe ser $2g-2$. Un punto $P\in \Sigma$ es un punto de Weierstrass si y solo si hay una 1-forma holomórfica con un cero en $P$ de orden al menos $g$. Equivalentemente, hay una métrica de cono plana (conforme equivalente a la superficie de Riemann subyacente y con todos los ángulos de cono de la forma $2\pi k$) con un ángulo de cono de $2\pi g$ en $P y holonomía trivial. Encontré esto en algunas notas de curso de McMullen, pero parece que ya no están disponibles en línea.

Adenda: He añadido un enlace a las notas del curso de McMullen sobre superficies de Riemann. El Teorema 10.19 y la discusión precedente conectan los puntos de Weierstrass con las 1-formas holomórficas. Ver la Sección 3 de otro de los documentos de McMullen para una discusión de las 1-formas holomórficas y las métricas euclidianas ramificadas.

Corrección: Olvidé que una 1-forma holomórfica no es del todo equivalente a una métrica de cono plana $2\pi k$. El problema es que si se desarrolla la superficie en el plano alrededor de un bucle cerrado, podría haber una parte rotacional, por eso añadí que necesita haber holonomía trivial. Entonces, una métrica de cono plano $2\pi k$ corresponde a una forma 1-forma holomórfica torcida por un carácter $U(1)$. También corresponde a un tipo especial de diferencial cuadrático holomórfico. Todavía es posible que los ceros de orden alto de tales formas 1-forma torcidas correspondan a puntos de Weierstrass, pero no es equivalente a la caracterización de McMullen. Como señaló Dmitri abajo, Troyanov ha demostrado que hay una estructura euclidiana en una superficie con un punto de cono en cualquier punto elegido.

Addenda: Schmutz-Schaller planteó este problema, que tal vez se asemeje a lo que estás buscando (y hasta donde sé, no ha sido respondido). Dio una caracterización de las superficies de Riemann hiperelípticas en términos de geodésicas cerradas.

Problema. Encuentra una caracterización geométrica (basada en geodésicas cerradas) de los puntos de Weierstrass.

En una superficie hiperbólica cerrada, hay puntos que tienen un vecindario abierto que no toca cada geodésica cerrada simple. Así que hay cierto "enfoque" de geodésicas cerradas simples.

Answer 2

La forma en la que pude entenderlos fue de manera muy elemental comenzando con curvas hiperelípticas $y^2=P(x)$ y "manualmente" tratando de construir funciones racionales de x e y con polos y ceros dados en la curva. (Asegurando, por supuesto, que también tenía el cero o polo correcto en el infinito). Rápidamente encontrarás desigualdades que limitan los tamaños de las potencias de x e y que se te permiten en el numerador o denominador y te darás cuenta de que, para polos en algunos lugares, tienes un poco más de libertad. De esa manera puedes obtener una sensación directa de estas cosas (al menos en ciertos casos sencillos) sin tener que pasar por todo eso de Riemann-Roch y demás.

Answer 3

En 1969, Joseph Lewittes escribió un artículo "Diferenciales y Métricas en Superficies de Riemann" en las Transacciones de la AMS donde intentó dar una interpretación geométrica diferencial de los puntos de Weierstrass. Desde su introducción:

En particular, mostramos que los puntos de Weierstrass de una superficie de Riemann compacta pueden ser caracterizados como puntos de curvatura cero de ciertas métricas "naturalmente definidas" en la superficie.

Answer 4

Editar. Después de escribir la respuesta a continuación, me di cuenta de que es esencialmente la misma que la de David Lehavi. Dado que la diferente formulación puede mejorar la comprensión, no la borraré, a regañadientes.

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Si consideramos la métrica de Poincaré (curvatura constante $-1$) en una curva hiperbólica, todos los puntos son localmente iguales. Me temo que esto implica que no hay una caracterización local de los puntos de Weierstrass. Por supuesto, esto no excluye la propiedad de enfoque geodésico que Matt sugiere.

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Me gusta pensar en los puntos de Weierstrass como un concepto de geometría diferencial proyectiva. Es una extensión del concepto de punto de inflexión de una curva plana.

De hecho, si $C$ es una cuártica plana suave, entonces sus puntos de Weierstrass son exactamente sus puntos de inflexión, es decir, puntos en los que la recta tangente tiene un orden anormal de contacto con la curva.

Para una curva con haces canónicos muy amplios (el caso genérico cuando $g\ge 3$), básicamente se mantiene la misma interpretación. Más precisamente, tenemos que

• el haz canónico $K_C$ determina una incrustación de $C$ en el espacio proyectivo $\mathbb P H^0(C,K_C)^{\ast}$;
• los puntos de Weierstrass corresponden a los puntos en $\mathbb P H^0(C,K_C)^{\ast}$ en los cuales la imagen de $C$ y el hiperplano osculante correspondiente tienen un orden anormal de contacto.

Answer 5

En cualquier momento que obtenga una afirmación en O_C(D), puede traducir la pregunta a través de Geometric Riemann-Roch.

Género 2: Los puntos de Weierstrass son los únicos puntos tales que 2p = K

Género 3 no hiperelíptico: no hay g1₂ entonces el primer caso interesante es g1₃ con algún punto p tal que g1₃ = |3p|. Un g1₃ es una proyección desde un punto en la curva canónica. Entonces, los puntos de Weierstrass son flexos bajo la incrustación canónica (proyectando desde el punto donde la línea tangente interseca). En curvas que admiten hiperflexiones, las hiperflexiones son otro tipo de punto de Weierstrass, y eso es todo lo que puedes obtener en el género 3 (porque 2g-2 = 4)

Género superior hiperelíptico: el mapa canónico es a una curva normal racional (que es el sistema) así como en el género 2.

Género 4 y superiores no hiperelípticos: similar al género 3.