Demuestre si $a$ y $b$ son números reales, y $a \neq b$ y $a > 0$ , $b > 0$ entonces $\frac{(a+b)}{2} > \sqrt{ab}$

Question

Demuestre si $a$ y $b$ son números reales, y $a \neq b$ y $a > 0$ , $b > 0$ entonces $\frac{(a+b)}{2} > \sqrt{ab}$

Usando una prueba hacia atrás:

$\frac{(a+b)}{2} > \sqrt{ab}$

$\Rightarrow (a+b)^{2} > 4ab$

$\Rightarrow a^{2}+2ab+b^{2} > 4ab$

$\Rightarrow a^{2}-2ab+b^{2} > 0$

$\Rightarrow (a-b)^{2} > 0 $

El profesor terminó la prueba aquí, pero me pregunto, ¿cómo $(a-b)^{2} > 0 $ demuestran que los supuestos $a > 0$ y $b > 0$ ¿están satisfechos?

Answer 1

No lo hace. La suposición es necesaria en la prueba "hacia adelante".

$$(a-b)^2 > 0$$ $$\implies a^2 - 2ab + b^2 > 0$$ $$\implies a^2 + 2ab + b^2 > 4ab$$ $$\implies (a+b)^2 > 4ab$$

Los supuestos $a>0$ y $b>0$ son necesarios para el paso final:

$$\implies \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$$

La cuestión es que nos permiten tomar la positivo raíz cuadrada de ambos lados.