¿Cómo se utiliza la fórmula de suma de Poisson?

Question

Mientras leía la respuesta a otra pregunta de Mathoverflow, en la que se mencionaba la fórmula de suma de Poisson, sentí que surgía una pregunta propia. Es algo que quería saber desde hace mucho tiempo. De hecho, incluso he preguntado a gente, que probablemente me ha dado respuestas perfectamente buenas, pero de alguna manera sus respuestas nunca se han quedado en mi cerebro. La cuestión es sencilla: la fórmula de la suma de Poisson es increíblemente útil para mucha gente, pero ¿por qué? Cuando la ves por primera vez, parece una pieza de magia, pero de repente empiezas a notar que la gente sigue diciendo "Por suma de Poisson" y espera que tú rellenes los detalles. En ese sentido, es un poco como la frase "Por compactación", pero la diferencia importante para mí es que yo puede rellenar los detalles de los argumentos de compactación.

Lo que me gustaría saber es lo siguiente. ¿Cuál es el "disparador" que hace que la gente piense: "Ah, la suma de Poisson debería ser útil aquí"? ¿Y hay algún ejemplo muy sencillo de cómo se aplica, con la propiedad de que una vez que se entiende ese ejemplo, se entiende básicamente cómo aplicarlo en general? (Tal vez se necesiten dos o tres ejemplos, que obviamente también estarían bien.) ¿Y se puede dar una descripción general de las circunstancias en las que es útil? (Cualquiera que esté familiarizado con el Tricki verá que básicamente estoy pidiendo un artículo del Tricki sobre la fórmula. Pero no me importa algo incompleto o menos pulido).

Como referencia, aquí hay una pregunta relacionada (pero diferente) sobre la fórmula de suma de Poisson: Verdad de la fórmula de suma de Poisson

Answer 1

Quizás sorprendentemente, no uso la suma de Poisson por sí mismo con mucha frecuencia, pero sí utilizo repetidamente el principio más general que ejemplifica la suma de Poisson, a saber, que la transformada de Fourier entrelaza la restricción y la proyección. Restringir una función $f: G \to {\bf C}$ en un grupo G a un subgrupo H corresponde a proyectar la transformada de Fourier $\hat f: \hat G \to {\bf C}$ a lo largo del complemento ortogonal $H^\perp$ (todos los personajes de $\hat G$ que aniquilan a H). A la inversa, promediar f a lo largo de H corresponde a restringir $\hat f$ a $H^\perp$ . Enchufar $G = {\bf R}$ y $H = {\bf Z}$ da más o menos la fórmula clásica de suma de Poisson.

El mismo principio se aplica también a los grupos aproximados, como las bolas: localizar una función en el espacio físico a una bola de escala r corresponde a promediar la transformada de Fourier a escala 1/r, y a la inversa; esto ya explica en gran medida el principio de incertidumbre, y también es el punto de partida de la teoría de Littlewood-Paley. O bien, la localización de los ceros de la función zeta de Riemann en una franja de altura T corresponde a la comprensión de la distribución de los (logaritmos de los) primos a escalas 1/T y superiores; la comprensión de la evolución de la ecuación de onda hasta el tiempo T controla los valores propios del laplaciano asociado a escalas 1/T y superiores; y así sucesivamente. Así que, en general, sé que el comportamiento a escala fina del espacio físico está ligado al comportamiento a escala gruesa del espacio frecuencial y viceversa; y siempre que necesito formalizar este tipo de intuición, tengo que recurrir a algo como una fórmula de suma de Poisson (aunque, como ya he dicho, rara vez utilizo esa fórmula directamente, sino alguna variante manipulada a partir de convoluciones y operadores de corte).

[Para interpretar la fórmula clásica de la suma de Poisson como una variante del principio de incertidumbre, hay que utilizar una topología "adelic" y ver los enteros en el espacio físico como "pequeños", y los enteros en el espacio de la frecuencia como "bajas frecuencias". Personalmente, encuentro esta perspectiva útil, pero esto puede deberse a que vengo de una formación de análisis armónico de variables reales].

Answer 2

Las respuestas existentes enumeran algunas situaciones importantes en las que la Suma de Poisson desempeña un papel, la aplicación para demostrar la ecuación funcional de $\theta$ y por lo tanto de $\zeta$ siendo mi favorito personal. Mi mejor respuesta a la pregunta de Tim, tal y como la ha formulado, podría ser: por qué no tenerla en mente para intentar usarla siempre que tengas una suma discreta que te cueste estimar, especialmente si te apetece entender la transformada de Fourier de los sumandos. Acabarás con una suma diferente y puede que sea mucho más fácil de entender, e incluso puede que seas capaz de aproximar tu primera suma por una integral (el término $\hat{f}(0)$ en la fórmula de suma de Poisson).

Para explicarlo un poco más con un ejemplo, hay toda una teoría relacionada con la estimación de sumas exponenciales $\sum_{n \leq N} e^{2\pi i \phi(n)}$ . Hay dos procesos llamados A y B que se pueden utilizar para convertir una suma como ésta en algo que se pueda entender mejor. El proceso A es básicamente la diferenciación de Weyl/van der Corput (Cauchy-Schwarz) y el proceso B es esencialmente la suma de Poisson. No es una tarea muy sencilla elaborar una teoría sobre cómo interactúan estos procesos y cómo pueden combinarse mejor para estimar la suma, y de hecho esto es en general una especie de arte. El sitio web 10 conferencias El libro de Montgomery contiene una buena exposición, y hay un volumen completo de notas de conferencias de LMS por Graham y Kolesnik si quieres más detalles.

Quiero compartir un artículo quizás un poco oscuro de Roberts y Sargos (Three-dimensional exponential sums with monomials, Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle) 591), en el que utilizan la Suma de Poisson en la forma del Proceso B mencionado anteriormente arbitrariamente muchas veces para establecer el siguiente resultado, bastante sencillo de establecer: el número de cuádruples $x_1,x_2,x_3,x_4$ en $[X, 2X)$ con

$$|1/x_1 + 1/x_2 - 1/x_3 - 1/x_4| \leq 1/X^3$$

es $X^{2 + o(1)}$ . En otras palabras, las cantidades $1/a + 1/b$ tienden a evitarse mutuamente en la misma medida que los números aleatorios del mismo tamaño. A muy grandes rasgos (no entiendo bien el argumento) la prueba consiste en mirar las sumas exponenciales $\sum_x e^{2\pi i m/x}$ y son éstas las que se transforman repetidamente utilizando la suma de Poisson seguida de otras modificaciones (siendo razonablemente inútil intentar aplicar la suma de Poisson dos veces seguidas).

Answer 3

En la teoría de los números, la fórmula de la suma de Poisson se utiliza para demostrar ecuaciones funcionales de las funciones theta (asegurando que son formas modulares) y luego, a través de ella, para demostrar las ecuaciones funcionales de las funciones zeta y L. Lo que ocurre en ambos casos es que hay alguna dualidad fundamental (a menudo autodualidad) que se está explotando.

En la teoría de la codificación también existen las identidades de MacWilliams que siguen de una versión discreta de la suma de Poisson. En cierto sentido son equivalentes a ciertas clases restringidas de ecuaciones funcionales para funciones theta. De nuevo, la dualidad y la autodualidad están detrás de estas simetrías.

Answer 4

Probablemente las respuestas sean diferentes en el análisis armónico y la teoría de números.

Coloque una medida de Dirac en cada uno de los enteros y obtendrá una distribución que está cerca de ser autodual bajo la transformada de Fourier en la línea real. Como lo es una gaussiana. ¿Esto empieza a sonar como potencialmente útil? Pero de una manera algebraica, supongo.

En teoría de números, respetamos la suma de Poisson como la verdadera razón de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann (Weil unificó esta observación con la primera). Se ha dicho que Riemann pensó en esa demostración como un ejercicio: estaba al alcance de la mano del tipo de cosas que la escuela francesa de matemáticas aplicadas había estado haciendo durante una generación. (Después de todo, ¿quién era Poisson y por qué se molestó?) Aparentemente, Siegel propuso la suma de Poisson como una técnica de la geometría de los números. Se trata de la versión para una red en el espacio euclidiano, ahora (ya necesaria en el trabajo de Hecke sobre las funciones L). Creo que el punto allí es que la geometría de los números ya tenía otras técnicas, de modo que la idea básica de la transformada de Fourier aplicada a la función característica de un conjunto, y luego la sumatoria de Poisson para obtener un manejo de los puntos de la red como una suma, no era necesaria antes. Pero esta idea ya se ha introducido en el recuento de puntos de la red como un paso rutinario (creo, no soy un experto en sumas exponenciales).

Mis ideas al respecto probablemente no son lo suficientemente amplias, pero el híbrido Gaussiano-PS subyacente define más o menos lo que es una función theta en términos de análisis real. Y lo que son las funciones theta se remonta a la temática de Weyl sobre las relaciones de conmutación canónicas como álgebra de Lie. Se puede leer de muchas maneras.

Answer 5

Esto es realmente un comentario que podría añadirse a las respuestas existentes, pero no puedo añadir comentarios. Como un ejemplo particularmente simple que sigue la respuesta de Ben, así como un ejemplo de la observación de SandeepJ sobre el cambio de "tamaño" de la suma, considere el recuento de soluciones a alguna ecuación lineal L = 0 en un subconjunto A de un grupo abeliano finito G. Digamos que $L = x + y + z$ . Para contar las soluciones a $L(x,y,z) = 0$ con $x,y,z \in A$ uno podría mirar la suma $\sum_{(x, y, z) \in H} F(x, y, z)$ , donde $F(x, y, z) = 1_A(x)1_A(y)1_A(z)$ y $H \leq G^3$ es el subgrupo de soluciones $(x,y,z) \in G^3$ tal que $L(x,y,z) = 0$ . Hasta algunos factores de normalización, la suma de Poisson dice entonces algo así como $$\sum_{\mathbf{x} \in H} F(\mathbf{x}) = \sum_{\chi \in H^\perp} \widehat{F}(\chi) = \sum_{\gamma \in \widehat{G}} \widehat{1_A}(\gamma)^3,$$ desde $H^\perp \cong \widehat{G}$ . Así, la suma "bidimensional" de la izquierda se ha convertido en una suma "unidimensional" de la derecha.

Esto es, por supuesto, la base de muchos argumentos en combinatoria aditiva, y como dijo Ben uno podría considerar fructíferamente el término $\widehat{F}(0)$ en la suma del lado derecho anterior.