$\text{Alt}\,(\phi_1 \otimes \phi_2 \otimes \phi_3)$

Question

¿Cómo escribir $\text{Alt}(\phi_1 \otimes \phi_2 \otimes \phi_3)$ $\phi_1, \phi_2, \phi_3 \in V^*$?

Answer 1

Es $${\rm Alt}(\phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3)= \phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3-\phi_1\otimes\phi_3\otimes\phi_2+\phi_2\otimes\phi_3\otimes\phi_1-\phi_2\otimes\phi_1\otimes\phi_3+\phi_3\otimes\phi_1\otimes\phi_2-\phi_3\otimes\phi_2\otimes\phi_1$$ pero algunos otros se definen $${\rm Alt}(\phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3)=\frac{1}{6}( \phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3-\phi_1\otimes\phi_3\otimes\phi_2+\phi_2\otimes\phi_3\otimes\phi_1-\phi_2\otimes\phi_1\otimes\phi_3+\phi_3\otimes\phi_1\otimes\phi_2-\phi_3\otimes\phi_2\otimes\phi_1).$$

Answer 2

Escribirla como $$\begin{align} \operatorname{Alt}(\phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3) = \frac{1}{6}(&\phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3 + \phi_2\otimes\phi_3\otimes\phi_1 + \phi_3\otimes\phi_1\otimes\phi_2\\ &- \phi_1\otimes\phi_3\otimes\phi_2 - \phi_2\otimes\phi_1\otimes\phi_3 - \phi_3\otimes\phi_2\otimes\phi_1) \end{Alinee el}$$ más general, $\operatorname{Alt}(\phi_1\otimes\dots\otimes\phi_n)$ escribes los productos del tensor de todas las permutaciones de la $\phi_k$, multiplicar cada uno de ellos con el signo de la permutación correspondiente, agregue para arriba y dividir la suma por el número de permutaciones.