Dibuja la bola abierta en el origen $(0,0)$ y el radio $1$ .

Question

Dada la norma $||(x,y)|| = 2|x| +\frac{1}{3}|y|$ . Dibuje la bola abierta en el sobre el origen $(0,0)$ y el radio $1$ .

Entiendo que el boceto de una bola abierta con un juego se parece a la imagen adjunta, en un caso general, pero no tengo idea de cómo esbozar uno aplicando la norma anterior a la situación.

entiendo que en el caso de $B_{r}(a)=\{x \in X | d(x,a) < r\}$ en este caso, $a = (0,0)$ y $r = 1$ . ¿Podría alguien ayudar en cuanto a cómo esbozarlo?

Gracias

Answer 1

El ejemplo que has dibujado no es en absoluto un caso general. Así es como se ve una bola abierta en $\Bbb R^2$ bajo la métrica euclidiana.

Queremos cubrir cualquier punto del plano $(x,y)$ tal que $2|x|+\frac{1}{3}|y|<1$ .

En el primer cuadrante, $x$ y $y$ son positivos, por lo que tenemos $2x+y/3<1$ o el área bajo $y<3-6x$ . En el segundo cuadrante, $x$ es negativo y $y$ es positivo, por lo que hay que utilizar $-2x+y/3<1$ o la línea $y<3+2x$ .

Etcétera. Debería ser bastante fácil cubrir los cuatro casos y luego asegurarse de que los puntos límite son correctos.

Answer 2

La bola abierta centrada en el origen, con radio $1$ es la región que contiene el centro $(0,0)$ y delimitado por los segmentos de línea \begin{eqnarray} 2x+\dfrac13y&=&1, 0 \le x\le 0.5\\ -2x+\dfrac13y&=&1, -0.5\le x\le 0\\ -2x-\dfrac13y&=&1, -0.5\le x\le 0\\ 2x-\dfrac13y&=&1, 0\le x\le 0.5 \end{eqnarray} En otras palabras, su bola abierta es la región delimitada por el polígono con vértices en $$ (0.5,0), (0,3), (-0.5,0), (0,-3). $$