¿Cómo se puede saber si una función GTO es una función propia del hamiltionano H?

Question

¿Cómo se puede saber si un Orbital de tipo Gauss es una función propia de Hamiltionan $H$ ? Por ejemplo:

$$GTO = N z^2 \exp\left(-\alpha r^2\right)$$

Sé que es una función propia de $L_z$ y no $L_x$ y $L_y$ . ¿Pero no es una función propia del Hamiltoniano $H$ y $L^2$ ? Si sé que es uno de $H$ Sé que será uno de los $L^2$ también desde que se desplazan.

Answer 1

Su operador hamiltoniano debería ser algo así como $$\hat{H}=\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r).$$ Todo lo que tienes que hacer es actuar con ella sobre tu función GTO, es decir, calcular las derivadas y comprobar si el resultado es de la forma $a\cdot GTO$ donde $a$ es un número. Si es de esta forma, entonces es una eigenfunción con valor propio $a$ y si no, entonces no es una función propia.