Puntos cerrados de extensión de campo del esquema k bajo proyección

Question

Realmente no pude averiguar la respuesta a la siguiente pregunta: Que $X$ sea un esquema de tipo finito sobre un campo $k$ y que $K$ sea un campo de extensión de $k$ . Sea $X_K := K \times_k X$ sea la extensión base y que $p: X_K \rightarrow X$ sea la proyección. ¿Es cierto que $p$ ¿mapea puntos cerrados a puntos cerrados?

Esto debería ser cierto si $K$ es de tipo finito sobre $k$ (¡así que no es necesariamente finito!). Prueba: $X$ es Jacobson, la proyección $p$ es de tipo finito y ahora se deduce, por ejemplo, del proyecto Stacks el lema 27.17.8 (véase http://stacks.math.columbia.edu/tag/01TB ) que $p$ mapea puntos cerrados a puntos cerrados. Pero me gustaría tener lo mismo para cualquier $K$ . ¿Es esto cierto?

Answer 1

¡No, no lo es! Por ejemplo, si $k=\bar{\mathbb{Q}}$ , $K=\mathbb{C}$ y $X$ tiene dimensión $\geq 1$ hay exactamente un punto cerrado de $X_K$ por encima de cada punto cerrado de $X$ . Pero sólo hay un número contable de puntos cerrados de $X$ mientras que $X_K$ tiene incontables puntos cerrados.

En general, un punto de $X$ será la imagen de un punto cerrado de $X_K$ si y sólo si su campo de residuos puede incrustarse en una extensión finita de $K$ (de forma que se respete $k$ ).

En particular, su afirmación no es cierta en general, incluso cuando $K$ es de tipo finito sobre $k$ Por ejemplo, si $K$ es el campo de residuos de un punto genérico de $X$ . El problema con su argumento es que $K$ es de tipo finito sobre $k$ como campo, pero no como álgebra.