Últimamente he leído algunos artículos que hablan de hamiltonianos con huecos o sistemas sin huecos, pero ¿qué significa?
Editar: ¿Es una cadena de espín XX en un campo magnético con hueco? ¿Por qué o por qué no?
Respuestas
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Xiao-Gang Wen
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En realidad se trata de una cuestión muy complicada, desde el punto de vista matemático. Los físicos pueden pensar que esta pregunta es trivial. Pero a mí me lleva una hora en una escuela de verano de matemáticas explicar la noción de hamiltoniano vacío.
Para ver por qué es difícil, consideremos las siguientes afirmaciones. Todo sistema físico tiene un número finito de grados de libertad (suponiendo que el universo es finito). Tal sistema físico sistema físico está descrito por una matriz hamiltoniana de dimensión finita. Toda matriz hamiltoniana de dimensión finita tiene un espectro discreto. Así que todos los sistemas físicos (o todos los hamiltonianos) son discretos.
Ciertamente, lo anterior no es lo que entendemos por "hamiltoniano vacío" en física. Pero, ¿qué significa que un hamiltoniano esté vacío?
Dado que un sistema con huecos puede tener excitaciones sin huecos en el límite, entonces para definir el hamiltoniano con huecos, necesitamos poner el hamiltoniano en un espacio sin fronteras. Además, un sistema con ciertos tamaños puede contener excitaciones no triviales (como el estado de líquido de espín de espín-1/2 en una red con un número impar de sitios), así que tenemos que especificar que el sistema tiene una cierta secuencia de tamaños a medida que tomamos el límite termodinámico.
He aquí una definición de "hamiltoniano vacío" en física: Consideremos un sistema en un espacio cerrado, si existe una secuencia de tamaños del sistema $L_i$ , $L_i\to\infty$ como $i \to \infty$ , de manera que el tamaño $L_i$ en un espacio cerrado tiene la siguiente "propiedad de brecha", entonces se dice que el sistema es de brecha. Obsérvese que la noción de "Hamiltoniano vacío" no puede definirse ni siquiera para un único Hamiltoniano. Es una propiedad de una secuencia de hamiltonianos en el límite de gran tamaño.
Esta es la definición de la "propiedad de la brecha": Existe un $\Delta$ (es decir, independiente de $L_i$ ) tal que el tamaño- $L_i$ El hamiltoniano no tiene ningún valor propio en una ventana de energía de tamaño $\Delta$ . El número de estados propios por debajo de la ventana de energía no depende de $L_i$ la división de energía de los estados propios por debajo de la ventana de energía se aproxima a cero a medida que $L_i\to \infty$ .
El número de estados propios por debajo de la ventana de energía se convierte en la degeneración del estado base del sistema con brecha. Así es como la degeneración del estado básico de un estado topológico ordenado se define. Me pregunto si alguien ha considerado la definición de un sistema de muchos cuerpos con hueco con mucho cuidado, podría descubrir la noción de orden topológico matemáticamente.
La distinción entre los espectros continuos y los discretos de las excitaciones de baja energía es la de "gapped" o "gapless". Para un Hamiltoniano $H$ con un espectro vacío, el primer estado excitado tiene un valor propio de energía $E_1$ que se separa por un hueco $\Delta > 0$ desde el estado básico $E_0$ . Por ejemplo, una relación de dispersión de la forma $E = |k|$ es un ejemplo de espectro sin huecos (continuo), mientras que $E = \sqrt{k^2 + m^2}$ es un ejemplo de hueco. $k$ denota el vector de onda y puede ser cualquier número real. $m$ es la masa que en este caso es la causa de la brecha.
Esta distinción da lugar a una diferencia cualitativa en el comportamiento físico de los sistemas con y sin huecos; lo más importante es que determina si un material es conductor o aislante. Hay procesos bastante fascinantes que pueden dar lugar a una brecha, como las interacciones (ejemplos interesantes son la brecha de masa en la teoría de Yang-Mills, o la brecha en la superconductividad BCS).
Will
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SomeGuy
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Una breve observación para la parte "editada" de su pregunta (si hay un hueco en la cadena XX o no). La cadena de espín XX en un campo magnético, es decir, el modelo definido por el Hamiltoniano
$$ H = \sum_i (\sigma^{x}_i \sigma^{x}_{i+1} + \sigma^{y}_i \sigma^{y}_{i+1} + h \sigma^{z}_i) $$
es un hueco cuando $|h| > 1$ . No es un resultado muy difícil, se obtiene inmediatamente si se hace la habitual transformación de Jordan-Wigner y Fourier a la manera del famoso trabajo de Lieb, Schultz y Mattis (Ann. Phys. 16, 407, (1961)) (aunque allí el $\sigma^{z}_i$ faltan términos, pero no son difíciles de incorporar).
jcevallos
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Sólo me gustaría añadir un poco a estas respuestas a la luz de la edición de la pregunta que introduce "XX Spin Chains" como contexto para esta pregunta. He encontrado un Tutorial sobre las Cadenas de Giro aquí . Básicamente son N giros en una línea. Aquí está el Hamiltoniano de ese papel donde N = 2.
$H_{12}=J/4(\sigma_1^x\sigma_2^x+\sigma_1^y\sigma_2^y+\sigma_1^z\sigma_2^z - I \times I)$
Dependiendo del signo de J, esto tiene 3 soluciones de tierra degeneradas, más una solución excitada o una solución de tierra. Este es un modelo básico de estados ferromagnéticos/antiferromagnéticos. En este caso las soluciones tienen una brecha. Seguirán teniendo un hueco para N general.
Sin embargo, en los últimos trabajos se han producido muchos desarrollos de este modelo ampliamente integrable, con un campo magnético continuo aplicado, por ejemplo. En algunos de estos casos, el modelo puede carecer de vacíos. También está la cuestión de lo que implica el modelo en el límite termodinámico $N \rightarrow \infty$ .
