Demostrar que $\Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_4 \not\cong \Bbb{Z}_8$

Question

Quiero demostrar que los grupos $\Bbb{Z}_2\ \otimes\ \Bbb{Z}_4$ y $\Bbb Z_8$ no son isomorfas entre sí.

Me he dado cuenta de que el primero tiene $2$ generadores, mientras que este último sólo tiene $1$ . Por lo tanto, debería intentar demostrar por contradicción que si existe un mapeo entre los generadores del primer grupo y algunos elementos del grupo del segundo, debería haber algo malo en él, como: $$f(g_1)f(g_2) \neq f(g_1g_2)$$ una propiedad muy importante ya que nos ayuda a conservar la estructura cuando pasamos a la nuevo grupo.

Pero no estoy siendo capaz de ir más allá de esto. Soy nuevo en la teoría de grupos, así que disculpen si esto es trivial. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Los isomorfismos preservan los órdenes de los elementos. ${}^\dagger$ Tenga en cuenta que $\Bbb Z_8$ tiene un elemento de orden $8$ mientras que $\Bbb Z_2\otimes \Bbb Z_4$ no lo hace.

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$\dagger$ Esto significa que para cualquier isomorfismo de grupo $\varphi:G\to H$ y cualquier $g\in G$ tenemos $|g|=|\varphi (g)|$ .