Dejemos que $G(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ . Demostrar que $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$ .

Question

Dejemos que $G(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ . Demostrar que $$G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n.$$
La solución dada utiliza el producto de Cauchy. Se muestra a continuación:
$$\begin{aligned} G(x)&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}x^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n. \end{aligned}$$
Mi pregunta es que no entiendo por qué se llega a las ecuaciones después del segundo símbolo de igualdad. Lo que sé es que aquí se utiliza el Producto de Cauchy, pero ¿cómo se llega a estas ecuaciones?

Answer 1

El producto de Cauchy para series generales es: $$ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} $$ En tu caso, $a_n=b_n=x^n$ para todos $n$ Así que $a_kb_{n-k}=x^kx^{n-k}=x^n$ . Esta sustitución explica la segunda igualdad. La tercera igualdad se deduce ya que $\sum_{k=0}^nx^n$ es la suma de $n+1$ copias de $x^n$ y, por tanto, igual a $(n+1)x^n$ .