Demostrando la desigualdad: $ x\exp(-x^2/4)(\exp(x)+\exp(-x)) \leq 1000 \exp(-x)$

Question

Haciendo algunas pruebas con Maple he "adivinado" la siguiente desigualdad con función exponencial (para $x\geq 0$ )

$$ x\exp(-x^2/4)(\exp(x)+\exp(-x)) \leq 1000 \exp(-x).$$

¿Existe una prueba fácil?

¿Se puede mejorar la "constante" $1000$ ?

Probablemente se puede dar una prueba muy fea como la siguiente.

Basta con demostrar que $$x\exp(-x^2/4) \exp(x) \leq 500 \exp(-x).$$ Esta desigualdad es válida para $x=0$ . El valor máximo $M$ del LHS se puede calcular explícitamente y se puede demostrar que el RHS es mayor que $M$ para $0\leq x \leq x_1$ , donde $x_1$ es algún número real explícito. Entonces, simplemente calculamos las derivadas y demostramos que satisfacen una determinada desigualdad. (Esto se vuelve complicado).

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La desigualdad $$ x\exp(-x^2/4)(\exp(x)+\exp(-x)) \leq c\; \exp(-x) $$ puede escribirse como $$ x\exp(-x^2/4+x)(\exp(x)+\exp(-x)) \leq c. $$ Trazando esta función con Mathematica se puede ver que el óptimo $c$ mentiras en torno a $231$ (probablemente un poco más allá), y que la derivada tiene una única raíz, que es el único máximo local. Pero, por supuesto, eso no es una prueba.

Ahora, si escribimos \begin{eqnarray} x\exp(-x^2/4+x)(\exp(x)+\exp(-x))&=&x\exp(-x^2/4+x)\exp(x)+x\exp(-x^2/4+x)\exp(-x) \\ &=&x\exp(-x^2/4+2x)+x\exp(-x^2/4), \end{eqnarray} es muy fácil ver que el segundo término es siempre menor que $1$ . Para el primer término, también es fácil comprobar que su único máximo se produce en $x=2+\sqrt6$ .

Entonces $$ x\exp(-x^2/4+x)(\exp(x)+\exp(-x))\leq (2+\sqrt6)\exp(-(2+\sqrt6)^2/4+2\sqrt6)+1\leq 231+1=232. $$ Así que la constante $232$ funciona, pero la constante óptima real está probablemente muy cerca $231$ . Esto puede mejorarse un poco jugando más cuidadosamente con el lugar donde el segundo término alcanza su máximo.

Answer 2

He aquí una idea que podría funcionar.

$$x\exp(-x^2/4) \exp(x) \leq 500 \exp(-x)$$

equivale a

$$x\exp(-x^2/4) \exp(2x) \leq 500 $$

o

$$x\exp(-x^2+8x/4) \leq 500 \,.$$

$$\frac{x}{\exp(x^2-8x/4)} \leq 500 \,.$$

Ahora usando el estándar $exp(y) \geq 1+y$ lo consigues:

$$\frac{x}{\exp(x^2-8x/4)}\leq \frac{x}{x^2-8x+1} $$

por lo que basta con demostrar que $\frac{x}{x^2-8x+1} \leq 500$ que si es cierto es fácil de demostrar.