¿Existe alguna distancia de probabilidad que conserve todas las propiedades de una métrica?

Question

Al estudiar la distancia de Kullback-Leibler, hay dos cosas que aprendemos muy rápidamente es que no respeta ni la desigualdad del triángulo ni la simetría, propiedades requeridas de una métrica.

Mi pregunta es si existe alguna métrica de funciones de densidad de probabilidad que cumpla todas las restricciones de una métrica .

Answer 1

Echa un vistazo a este documento que cubre una amplia gama de métricas populares en el espacio de la medida de probabilidad . Mis favoritos son la distancia de variación total y $L^2$ Distancia de Wasserstein (distancia de movimiento de la tierra).

Answer 2

Creo que el Distancia de la Tierra , también conocido como el Métrica Wasserstein es un ejemplo que cumple con sus requisitos.

Answer 3

Hay algunas modificaciones en la divergencia KL que hacen que adquiera algunas de las propiedades métricas (aunque no todas).

Por ejemplo, el La divergencia de Jeffrey modifica la divergencia KL para hacerla simétrica.

Hay algunos casos especiales, véase [1]: "Desafortunadamente, las medidas tradicionales basadas en la divergencia Kullback-Leibler (KL) y la distancia Bhattacharyya no satisfacen todos los axiomas métricos necesarios para muchos algoritmos. En este trabajo proponemos una modificación para la divergencia KL y la distancia Bhattacharyya, para densidades gaussianas multivariantes, que transforma las dos medidas en métricas de distancia."

[1] K. Abou-Moustafa y F. Ferrie, "A Note on Metric Properties for Some Divergence Measures: The Gaussian Case", JMLR: Workshop and Conference Proceedings 25:1-15, 2012.

Answer 4

Creo que la respuesta a la pregunta es posible. Porque, recientemente en 2017 R. Farhadian mostró que hay una probabilidad en un subconjunto heurístico de enteros que es una métrica. para su trabajo, ver el siguiente enlace: http://journals.univ-danubius.ro/index.php/oeconomica/article/view/4010