Pregunta fundamental sobre el análisis dimensional

Question

En el análisis dimensional, no tiene sentido, por ejemplo, sumar dos números con unidades diferentes. Tampoco tiene sentido exponer juntos dos números con unidades diferentes (o, para el caso, con unidades en absoluto); estas expresiones no tienen sentido:

$$(5 \:\mathrm{m})^{7 \:\mathrm{s}}$$

$$(14 \:\mathrm{A})^{3 \:\mathrm{A}}$$

Ahora mi pregunta es claramente esta: por qué ¿no tienen sentido? ¿Por qué sólo tiene sentido multiplicar juntos números con unidades y no, por ejemplo, exponenciarlos juntos? Entiendo que elevar un número con una unidad a la potencia de otro número con una unidad es bastante poco intuitivo - sin embargo, eso no es realmente una buena razón, ¿verdad?

Answer 1

Un argumento estándar para negar la posibilidad de insertar cantidades acotadas en funciones trascendentales es la siguiente expresión para la expansión de Taylor de, por ejemplo $\exp(\cdot)$ :

$$ e^x = \sum_n \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x +\frac{x^2}{2} + \dots\,.\tag1$$

Aquí añadiríamos cantidades con diferentes dimensiones, lo que ya has aceptado que no tiene sentido.

Por otra parte, hay un argumento (documento de pago), que en la expansión de Taylor donde las derivadas se toman "correctamente", se obtendría algo como lo siguiente para una función $f$ :

\begin{multline} f(x+\delta x)=f(x)+\delta x\frac{df(x)}{dx}+\frac{\delta x^2}2\frac{d^2f(x)}{dx^2}+\frac{\delta x^3}{3!}\frac{d^3f(x)}{dx^3}+\dots=\\ =f(x)+\sum_{n=1}^\infty\frac{\delta x^n}{n!}\frac{d^nf(x)}{dx^n},\tag2 \end{multline}

y las dimensiones de las derivadas son las de $1/dx^n$ que anulan las de $\delta x^n$ términos, lo que hace que el argumento anterior sea engañoso.

Answer 2

(Sé que estoy respondiendo a una pregunta antigua, pero creo que lo que sigue es una buena manera de explicar a los jóvenes estudiantes).

No es necesario conocer las expansiones de Taylor. Simplemente recuerda la definición de la exponencial. Satisface la ecuación diferencial

$$ \frac{\text d y}{\text d x} = y(x) $$

Según esto, la derivada de $\text e^x$ tiene la misma dimensión que $\text e^x$ . Por lo tanto, $x$ debe ser adimensional, ya que la derivada de $\text e^x$ tiene la dimensión de $\text e^x$ dividido por $x$ . (Esta afirmación proviene de la definición de la derivada como límite y también es sugerida por la $\text d / \text d x$ notación).

Answer 3

Un punto más a tener en cuenta, es que estrictamente se está diciendo que el exponente es adimensional, no que no contenga expresiones con dimensión. Así, por ejemplo, podríamos tener alguna expresión como $X=a^{(E/E_0)}$ donde el exponente de a es una relación de energías.

Hay varias restricciones en el espacio (a veces visto como un espacio vectorial) de las cantidades dimensionales: por ejemplo, las unidades se elevan a valores racionales, pero no irracionales. Esto permite un teorema: El Buckingham $\Pi$ Teorema para formar.

Answer 4

Por la forma en que se define una exponencial. Mediante una expresión como $a^b$ queremos decir que la cantidad $a$ se multiplica $b$ veces con ella misma. Así, una expresión como $(5m)^{7s}$ significaría $5m$ multiplicó "7 segundos" por sí mismo, lo que no tiene sentido.

Answer 5

La respuesta de la wiki de la comunidad parece haberse convertido en una mezcla inconclusa de opiniones, seguida de un largo hilo de comentarios difícil de interpretar. El artículo al que se hace referencia es el de Matta et al, http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/ed1000476 . El documento de Matta afirma que corrige "conceptos erróneos y errores comunes", pero en realidad gran parte de su propio razonamiento es engañoso.

Como señala Matta, no hay ninguna razón para que una función trascendental deba tomar una entrada sin unidades y dar una salida sin unidades. Por ejemplo, dejemos que f(t)=(1 metro)exp[t/(1 segundo)]. Esta es una función trascendental perfectamente sensata, y toma una entrada sin unidades y da una salida sin unidades. Si tomamos su serie de Taylor, encontraremos que los coeficientes de la serie tienen las unidades correctas, de modo que f puede definirse, si lo deseamos, en términos de su serie de Taylor.

Todo lo que se puede decir en este sentido es que muchos de los estándar las funciones requieren entradas sin unidades y dan salidas sin unidades si los defines por su serie de Taylor. Esto no es en absoluto un argumento concluyente en todos los casos, tanto porque podemos tener funciones distintas de las estándar (como la f definida anteriormente) como porque no todas las funciones tienen que ser o incluso pueden ser definidas en términos de series de Taylor.

Un buen ejemplo es la función de raíz cuadrada. No querríamos definirla en términos de su serie de Taylor en torno a x=0, porque no tiene tal serie de Taylor. Si quisiéramos ser perversos, entonces podríamos definirla en términos de su serie de Taylor sobre algún punto b>0. Entonces todo lo que sucedería sería que si b tuviera unidades, también lo harían los coeficientes de la serie de Taylor.

Cuando se trata de logaritmos y exponentes, no es una tontería obvia hacer cosas como tomar logaritmos de cantidades unitarias. Por ejemplo, se puede decir que ln(5 metros)=ln(5)+ln(metros).

Matta se queja de que log(metros) no tiene sentido, porque ¿a qué potencia y se elevaría e para obtener metros? Lo único que han demostrado aquí es que y no es una cantidad que encaje en el álgebra de las cantidades unitarias. Este es un argumento débil, ya que al introducir cantidades unitarias, ya hemos ampliado el álgebra de los reales. Por ejemplo, si tenemos tres unidades de base (m, kg, s), entonces el álgebra de las cantidades unitarias es isomorfa al producto directo RxQxQxQ. Por ejemplo, 7 newtons estarían representados por la 4tupla (7,1,1,-2), donde las entradas segunda a cuarta son los exponentes de las unidades base, y la operación de grupo para la multiplicación se define en términos de multiplicar la primera entrada y sumar las otras. Así que es perfectamente razonable imaginar la extensión de esta álgebra para incluir cosas como ln(metros). Una objeción más convincente sería que esta álgebra no tiene buenas propiedades, por ejemplo, no es un campo.

Matta señala correctamente que hay alternativas perfectamente buenas para escribir cosas como ln(5 metros). Por ejemplo, se puede escribir ln[(5 metros)/(1 metro)], y éste es el estilo preferido por la revista en la que se publicó el artículo. Pero esto es simplemente una cuestión de estilo, no de lógica.