¿Podemos extender cualquier métrica plana sobre el toro a una métrica plana global "estándar"?

Question

Dejemos que $\mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ sea el $d$ -toroide de dimensiones. Sea $p \in M$ y que $U \subseteq \mathbb{T}^d$ sea una vecindad abierta de $p$ difeomorfo a $\mathbb{R}^d$ . Sea $g_U$ sea una métrica plana de Riemann definida en $U$ .

Puede $g_U$ se puede extender a una métrica suave $h$ en $\mathbb{T}^d$ que es isométrico a una de las métricas planas "estándar" en $\mathbb{T}^d$ inducida por la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^d$ ?

En otras palabras, pregunto si existe una métrica $h$ en $\mathbb{T}^d$ tal que

1. $h$ coincide con $g_U$ en $U$ .
2. Existe una isometría global $\phi:(\mathbb{T}^d,h) \to (\mathbb{T}^d,g_0)$ donde $g_0$ es una de las métricas estándar que provienen de la identificación $\mathbb{T}^d \simeq \mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ .

La razón por la que dije "uno de" es que hay múltiples opciones posibles de cómo identificar $\mathbb{T}^d \simeq \mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ -en lugar de los cuadrados estándar se pueden utilizar paralelogramos con ángulos no rectos. (Creo que los diferentes ángulos darán métricas no isométricas en el Torus).

Me parece bien que se encoja $U$ si es necesario.

Editar:

Una pregunta más sencilla es si todas las métricas planas del toro son o no isométricas.

Answer 1

Al reducirse $U,$ podemos garantizar que $U$ es un suave $d$ -(isométricamente) incrustada como una región acotada en $\mathbb R^d,$ y, por tanto, incrustables en $(\mathbb T^d, \delta)$ donde $\delta$ es una métrica plana estándar suficientemente grande en el toro. Dejando que $\phi : U \to \phi(U)$ denotan esta isometría, podemos ampliar $\phi$ a un difeomorfismo $\tilde \phi$ de $\mathbb T^d$ . La métrica $\tilde \phi^* \delta$ es entonces una extensión de $g_U$ que es isométrica a la métrica estándar $\delta.$

Como apunte, es cierto que cualquier métrica plana sobre un toro es isométrica a una estándar: Si se tiene una métrica plana $g$ en $\mathbb T^d,$ entonces esto se eleva a una métrica plana $\tilde g$ en la cubierta universal, que por tanto debe ser isométrica a la euclidiana $\mathbb R^d.$ El grupo de transformación de la cubierta $\pi_1(\mathbb T^d) \simeq \mathbb Z^d$ de esta cubierta actúa por $\tilde g$ -isometrías, por lo que $(\mathbb T^d,g) = (\mathbb R^d,\tilde g)/\mathbb Z^d$ es el cociente de un espacio euclidiano por un isométrico $\mathbb Z^d$ -acciones.

La respuesta a la "pregunta fácil" es que las clases de isometría de las métricas planas sobre $\mathbb T^d$ están en correspondencia 1-1 con las clases de isometría de los retículos en $\mathbb R^d,$ por lo que, efectivamente, la elección de un dominio fundamental de forma diferente le dará una métrica no isométrica.