cubo + cubo + cubo = cubo

Question

La siguiente identidad es un poco aislada en la aritmética de los enteros naturales $$3^3+4^3+5^3=6^3.$$ Dejemos que $K_6$ sea un cubo cuyo lado tiene longitud $6$ . Lo vemos como la unión de $216$ cubos unitarios elementales. Queremos cortarlo en $N$ componentes conectados, cada uno de los cuales es una unión de cubos unitarios elementales, de manera que estos componentes pueden ensamblarse para formar tres cubos de tamaños $3,4$ y $5$ . Por supuesto, estos últimos se realizan simultáneamente: un componente no puede utilizarse en dos cubos. Hay una solución con $9$ piezas.

¿Cuál es el número mínimo $N$ de piezas en las que cortar $K_6$ ?

Sobre la conectividad: un

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Modifier . Varios comentarios piden una referencia para el $8$ -Piezas de rompecabezas, mencionadas al principio en la pregunta. En realidad, $8$ fue un error, ya que la solución que conozco consiste en $9$ piezas. La única que tengo es la fotografía que aparece en la respuesta de François más abajo. Sin embargo, no es muy informativa, así que permítanme darles información adicional (manipulé el rompecabezas hace un par de semanas). Hay una $2$ -(centro) y un $3$ -cubo (derecha). A la izquierda, el $4$ -no está completo, ya que faltan dos cubos elementales al final de una arista. Por supuesto, no se puede tener tanto un $3$ -cubo y un $4$ -cubo en un $6$ -cubo. Así que puedes imaginar cómo el $3$ -el cubo y lo imperfecto $4$ -coincidencia de cubos (dos posibilidades). Otras piezas bastante simétricas son un $1\times1\times2$ (llena el imperfecto $4$ -cuando se construye el $3$ -, $4$ - y $5$ -cubos) y un $1\times2\times3$ . Otras dos piezas sólo tienen una simetría plana, mientras que la última no tiene ninguna simetría.

Aquí hay una fotografía del corte mencionado anteriormente.

(fuente)

Answer 1

El 8 es el menos.

No se puede tener una pieza de longitud 6, por lo tanto no hay dos esquinas del cubo 6x6x6 que puedan formar parte de la misma pieza, el cubo tiene 8 esquinas, necesitamos entonces un mínimo de 8 piezas.

Answer 2

El elegante límite inferior de JHI de $8$ en $N$ se consigue mediante una disección explícita. A continuación muestro mi construcción; tal vez quieras intentar encontrar una solución por ti mismo antes de continuar $-$ es un rompecabezas muy bonito. Es posible que haya otras formas de hacerlo.

Si alguien puede hacer un " $3$ -gráfico o imagen "dimensional" de la $8$ -disección de piezas, eres bienvenido a añadirla editando mi respuesta. Mis diagramas son bidimensionales, etiquetando cada pieza con su altura. Afortunadamente la disección es lo suficientemente simple para que esto sea posible; En concreto, las ocho piezas están formadas por cuatro cajas y cuatro prismas en forma de L. Esto también hizo posible encontrar la solución utilizando sólo lápiz y papel en un vuelo internacional sin incidentes.

Comience por cortar el $6 \times 6 \times 6$ cubo de arriba a abajo en tres piezas, como se muestra en la vista superior del primer diagrama cuadrado. A continuación, corta cada pieza horizontalmente en dos, dividiendo AB en $3+3$ , $\phantom.$ C en $4+2$ y D en $5+1$ . Cada pieza AB se subdivide a su vez en en una caja B y un prisma en forma de L A. El segundo diagrama muestra (digamos) la capa inferior de cuatro piezas, y el tercer diagrama muestra la parte superior. Obsérvese que las subdivisiones AB no son exactamente iguales.

(fuente)

Las piezas del mismo color se unirán para formar un cubo más pequeño. La pieza C más grande es un $4$ -cubo, y las dos piezas A forman un $3$ -como se muestra. Queda por construir el $5$ -cubo de las cinco piezas restantes. Los dos últimos diagramas muestran la parte inferior y superior del $5$ -cubo.

(fuente)

Los dos $5$ son la pieza B más grande, girada para abarcar todo el altura del cubo, y la pieza gruesa D. La pieza D delgada completa la parte inferior, con una anchura $1$ . La parte superior se rellena con la pieza C, más fina, y la B, más pequeña, ambas giradas a la altura 4. QEF

Supongo que un modelo físico no será un rompecabezas difícil de reconstituir en uno o tres cubos (por ejemplo, las partes AB, C y D del $6$ -cubo son independientes) pero aún así sería un buen modelo físico de la identidad $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$ .

Esta disección es específica para la solución $(a,b,c;d)=(3,4,5;6)$ del ecuación diofantina $a^3+b^3+c^3=d^3$ No sé si un $8$ -pieza disección es posible para cualquier otra solución. El análisis de JHI muestra que nunca se puede llegar por debajo de $8$ y en algunos casos ni siquiera eso es posible: si $a<b<c$ y $a+c<d$ entonces hay al menos una esquina de la $d$ -cubo, digamos $(1,1,1)$ que contribuye a la $a$ -cubo, pero entonces cualquier celda $(x,y,z)$ avec $\max(x,y,z) = a+1$ no puede conectarse a ninguna esquina. Esto ocurre primero para $(a,b,c;d) = (6,32,33;41)$ .

¿Cuál es la disección mínima para la identidad del "taxi"? $1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3$ ? El argumento de JHI sobre el recorte de esquinas muestra que se necesitan al menos nueve piezas.

Answer 3

La solución mencionada en la pregunta consiste, de hecho, en $9$ piezas, como se muestra en la siguiente foto que tomé ayer. No sé si una solución con $8$ existen piezas.