Construir la interacción de espín de dos partículas "más general" con $SU(2)$ simetría

Question

Supongamos que quiero escribir un término de interacción para una acción para fermiones de espín 1/2 que sea $SU(2)$ -simétrico.

Parto de la forma general más ingenua de dicha acción: $$S_{int} ~=~ \int_{4321} \sum_{\alpha \beta \gamma \delta} \bar \psi(4)_\alpha \bar \psi(3)_\beta \psi(2)_\gamma \psi(1)_\delta V(4,3,2,1)_{\alpha \beta \gamma \delta}$$

donde los índices $1$ à $4$ representan los momentos y las frecuencias de mis fermiones.

Ahora quiero encontrar la forma $V$ debe tener para ser $SU(2)$ simétrico. Transformando los campos de fermiones y exigiendo que la acción debe permanecer invariante bajo eso, puedo mostrar que $V$ debe transformarse como $$V_{\alpha' \beta' \gamma' \delta'} ~=~ \sum_{\alpha\beta\gamma\delta} R^\dagger_{\alpha \alpha'} R^\dagger_{\beta \beta'} R_{\gamma \gamma'} R_{\delta \delta} V_{\alpha \beta \gamma \delta}$$ donde $R \in SU(2)$ .

Bueno, y ahora estoy atascado continuando desde aquí. Usando un poco de manipulación creo que podría argumentar que $V$ debe preservar el giro total y también el giro total en $z$ -dirección Probablemente podría argumentar que $V$ sólo puede dispersar trillizos a trillizos, trillizos a trillizos, y tampoco puede cambiar el $z$ -del triplete, pero prefiero utilizar un enfoque más riguroso.

Lo que probablemente implicará representaciones irreducibles? Probablemente podría llegar a la afirmación del singlete/triplete anterior señalando que $SU(2)$ transformará los multipletes en el mismo multiplete, por lo que el singlete sería invariante bajo $SU(2)$ y los trillizos se mezclarían de alguna manera. Pero por qué es apropiado entonces mirar un singlete "entrante" o un triplete "entrante" formado por índices $\gamma$ y $\delta$ a diferencia de la formación de dichos estados con, por ejemplo, índices $\alpha$ y $\gamma$ ?

ADDENDUM: Bueno, supongo que también puedo empezar con los giros en una base diferente: Asumiendo que puedo poner los dos espines "entrantes" y los dos "salientes" en un singlete o en uno de los tres tripletes, supongo que puedo escribir la acción como $$S \sim \int_{1234} \sum_{jm j'm'} (\bar \psi(4) \bar \psi(3))_{jm} (\psi(2) \psi(1))_{j'm'} V(4,3,2,1)_{jm;j'm'}$$ Entonces puedo argumentar primero que debido a la conservación del espín total requerimos $j = j'$ . Y luego para $V$ Puedo ver la dispersión singlete-singlet y la dispersión triplete-triplete por separado: Para $j = j' = 0$ , $m$ debe ser $0$ y así $V$ es un escalar, invariante bajo $SU(2)$ Pero para $j = j' = 1$ Los estados con $m = 0, \pm 1$ se transforman el uno en el otro de alguna manera, y por lo tanto debo trabajar un poco más para conseguir la simetría correcta. Pensaré en esto, pero mientras tanto estoy abierto a más sugerencias.

Answer 1

Esta es una respuesta muy rápida y sucia, no he pensado demasiado en ello. Puede que actualice mi respuesta si encuentro tiempo el fin de semana, de lo contrario espero que otros den respuestas más precisas.

$V_{\alpha\beta\gamma\delta}$ se transforma reduciblemente bajo $SU(2)$ como productos tensoriales de cuatro espines $\frac 12$ representaciones. Utilizando $\bf\frac 12\otimes\frac 12 = 0 \oplus 1$ y $\bf 1\otimes 1 = 0 \oplus 1 \oplus 2$ encontramos que $V_{\alpha\beta\gamma\delta}$ se descompone en estas representaciones irreducibles $$\mathbf{\frac 12\otimes\frac 12\otimes\frac 12\otimes\frac 12} = (2\times\mathbf{0})\oplus (3\times \mathbf{1}) \oplus \mathbf{2},$$ dos singletes, tres tripletes y un espín 2 (representación de 5 dimensiones). Existe una acción del grupo de permutación $S_4$ en los índices de $V_{\alpha\beta\gamma\delta}$ , para $SU(N)$ resulta que la descomposición de este tensor en representaciones irreducibles del grupo de permutación corresponde también a representaciones irreducibles de $SU(N)$ . Esto se puede hacer bastante rápido usando Young Tableau, puedes encontrar los detalles en la mayoría de los libros de teoría de la representación para físicos (no tengo un libro relevante aquí y no recuerdo los detalles. Puede que añada la respuesta el fin de semana). En el caso de un producto tensorial $\bf 1\otimes 1 = 0\oplus 1\oplus 2$ obtenemos la siguiente descomposición

$$ T_{ij} = \delta_{ij}\frac{tr(T)}3 + \left(\frac{T_{ij}-T_{ji}}2\right) + \left(\frac{T_{ij}+T_{ji}}2 - \delta_{ij}\frac{tr(T)}3\right).$$ Estos tres términos se transforman irreduciblemente como espín $0$ , giro $1$ y girar $2$ representaciones de $SU(2)$ respectivamente. En términos del grupo de permutación, son las representaciones trivial, antisimétrica y menos simétrica, respectivamente.

Algo similar puede hacerse para $V_{\alpha\beta\gamma\delta}$ Utilizando Young Tableau o simplemente jugando con él.