¿Por qué la distinguibilidad cambia la probabilidad?

Question

Lugar $n$ distintivo partículas en $N$ pedido cubos donde $Nn$ . El número total de colocaciones posibles es $N^n$ . Elija $n$ cubos particulares, entonces la probabilidad de cada uno de los $n$ cubo que contiene exactamente una partícula es $\frac{n!}{N^n}$ .

Ahora supongamos que las partículas son indistinguible entonces el número de colocaciones posibles es $C_{n+N-1}^n$ (indica $n+N-1$ elige $n$ ). Teniendo en cuenta el $n$ cubos, la probabilidad de cada uno de los $n$ cubos que contienen exactamente una partícula es $\frac{1}{C_{n+N-1}^n }$ .

Supongamos que $N=10, n=5$ entonces la primera probabilidad es $5! / 10^5 = 0.0012$ y la segunda probabilidad es $1/C_{14}^5 \approx 0.0005$ .

Esto es muy poco intuitivo. La única diferencia entre los dos casos es si las partículas son distinguibles. ¿Alguien puede ayudar a explicar por qué la distinguibilidad cambia la probabilidad?

Answer 1

Tratemos un caso sencillo, tres partículas y tres cubos.

Considere la posibilidad de que dos observadores vean, uno en un monitor en color y el otro en un monitor en blanco y negro cuidadosamente contrastado, cómo caen las mismas bolas al azar en los cubos y registran los resultados.   El monitor en color puede distinguir las bolas rojas, azules y verdes, mientras que el monitor en blanco y negro no, y sin embargo son las mismas bolas.   ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas caigan en cubos diferentes?

Ahora, el primer observador puede presentar un total de $3^3$ posibles resultados, de estos $3!$ las partículas en diferentes cubos.

El otro observador sólo puede ver $^5C_3$ resultados distintos, de los cuales sólo una forma distinta coloca una partícula en cada cubo.

¿Por qué la probabilidad que ambos miden estará más cerca de $3!/3^3$ en lugar de $1/{^5C_3}$ ?   Bueno, si las partículas se pueden distinguir o no por un observador Pero no se trata de una cuestión de seguridad, sino de entidades individuales.   Así que el modelo aplicable es: "cada partícula individual tiene una elección imparcial de uno de los tres lugares individuales".

$$\begin{array}{c|ccc}*|*|* & r|b|g & r|g|b & b|r|g & b|g|r & g|r|b & g|b|r \\ **||* & rb||g & rg||b & bg||r \\ **|*| & rb|g| & rg|b| & bg|r| \\ |**|* & |rb|g & |rg|b & |bg|r \\ |*|** & |r|bg & |b|rg & |g|rb \\ *|**| & r|bg| & b|rg| & g|rb| \\ *||** & r||bg & b||rg & g||rb \\ *** || & rbg|| \\ |***| & |rbg| \\ ||*** & ||rbg \end{array}$$

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tl;dr Las distintas disposiciones de partículas indistintas no son cada una de ellas estados igualmente probables.

Answer 2

Cuando se consideran las partículas como distinguibles se está especificando el estado como una n-tupla cuyo $k^{th}$ es el número de caja del $k^{th}$ pelota.

Hay $N^n$ de estos microestados y todos son igualmente probables.

Cuando piensas en las partículas como indistinguibles estás especificando el estado como una N-tupla cuyos elementos suman n.
El $p^{th}$ es el número de bolas en el $p^{th}$ caja.
Así, se crean macroestados, cuya probabilidad será proporcional al número de microestados correspondientes a ese macroestado.

Por ejemplo

caso 1: hay $n!$ microestados correspondientes al macroestado en el que el primer $n$ las cajas contienen 1 bola

caso 2: sólo hay 1 microestado correspondiente al macroestado en el que todos $n$ las bolas están contenidas en la primera caja.

ambos casos se describen con un único macroestado pero el caso 1 es más probable por un factor de $n!$

si $N=5$ y $n=2$
el macroestado para el caso 1 es $(1,1,0,0,0)$ correspondiente a los microestados $(1,2)$ y $(2,1)$
el macroestado para el caso 2 es $(2,0,0,0,0)$ correspondiente al microestado $(1,1)$