Probabilidad de eventos

Question

He aquí un problema de probabilidad: observas que cada 5 minutos pasan por delante de ti una media de 0,5 coches en una carretera. ¿Cuál es la probabilidad de ver al menos 1 coche en 10 minutos?

Estoy tratando de resolver esto de 2 maneras. La primera forma es decir: P(sin coche en 5 minutos) = 1 - .5 = .5. P(ningún coche en los primeros 5 minutos y ningún coche en los segundos 5 minutos) = P(ningún coche en los primeros 5 minutos) * P(ningún coche en los segundos 5 minutos) por independencia. Por tanto, P(al menos un coche en 10 minutos) = 1 - .5*.5 = .75.

Sin embargo, si pruebo lo mismo, con una distribución de Poisson con tasa lambda = .5 por unidad de tiempo, para 2 unidades de tiempo, obtengo P(al menos 1 coche en 2 unidades de tiempo) = 1 - exp(-2*lambda) = .63.

¿Estoy haciendo algo mal? Si no es así, ¿qué explica la discrepancia?

Answer 1

En realidad hay una conexión entre sus dos cálculos. Como han señalado los comentaristas, la clave está en interpretar la afirmación de "0,5 coches de media cada 5 minutos". Podría significar que en cada intervalo de 5 minutos pasa 0 o 1 coche, con P(1 coche)=0,5. En ese caso tu primer cálculo es correcto.

Pero se puede obtener esa media de muchas otras maneras. Por ejemplo, si cada minuto hay 0 o 1 coche que pasa, con P(1 coche)=0,1, es decir, todavía hay 0,5 coches de media cada 5 minutos, entonces un cálculo muy similar te daría P(al menos 1 coche en 10 minutos) $=1-0.9^{10} = 0.651$ . Obsérvese lo mucho que se acerca al resultado de Poisson.

A medida que divides tu intervalo de 5 minutos en más y más trozos (digamos, $k\rightarrow\infty$ ), y asumir que sólo 0 o 1 coche puede pasar durante esos $5/k$ minutos con probabilidad $0.5/k$ que sigue siendo de 0,5 coches de media durante 5 minutos, la probabilidad del primer cálculo será $1 - (1 - 0.5/k)^{2k} \rightarrow 1-e^{-1}=0.632$ que es el resultado del cálculo basado en Poisson.

De hecho, esta construcción es esencialmente la definición de un proceso de Poisson. Las demás propiedades, como el tiempo exponencial entre llegadas, son sólo consecuencias.