Series de Fourier reales y complejas de diferencia

Question

Estoy trabajando en series de fourier y estoy tratando de calcular la transformación de fourier para el $2\pi$ -función periódica de $f(x)=x^2$ con $x \in [-\pi,\pi]$ .

Ahora con el camino real, es decir $$f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$$ y encontré $$f(x) \sim \frac{\pi^2}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2}(-1)^{n}\cos(nx).$$

Ahora también intenté calcular con la forma imaginaria, es decir con $$f(x) \sim c_{0}+\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_{n} e^{inx},$$ con $$c_{n}=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx},$$ y encontré $$f(x) \sim \frac{\pi^2}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2} (-1)^{n} e^{inx},$$ que no parece ser el mismo. Estoy seguro del cálculo real, ¿alguna sugerencia de dónde me equivoco con la parte imaginaria?

Answer 1

Con $f(x) = x^2$ la serie compleja de Fourier debe ser indexada por los enteros. Es decir, $$ f(x) \sim c_0 + \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{inx}, $$ donde los coeficientes de Fourier vienen dados por $$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d} x = \begin{cases} \frac{2}{n^2}(-1)^n & \text{if $n\ne 0$, and} \\ \frac{\pi^2}{3} & \text{if $n=0$.} \end{cases}$$ (Consigo esto después de dos pasos de integración por parte-estoy omitiendo los detalles aquí, ya que parecías haberlos resuelto correctamente en tu trabajo).

Con un poco de manipulación, esto se convierte en \begin{align*} f(x) &\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{inx} \\ &= c_0 + \sum_{n=-\infty}^{-1} c_{n} \mathrm{e}^{inx} + \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{inx} \\ &= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} \mathrm{e}^{-inx} + \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{inx} \\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(-n)^2} (-1)^{-n}\mathrm{e}^{-inx} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2} (-1)^{n}\mathrm{e}^{inx} \\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2} (-1)^n\left( \mathrm{e}^{inx} + \mathrm{e}^{-inx} \right) \\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} (-1)^n \left( \frac{\mathrm{e}^{inx} + \mathrm{e}^{-inx}}{2} \right) \\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} (-1)^n \cos(nx), \end{align*} que es el resultado que esperabas obtener.