Por matemáticas de bachillerato me refiero a la Aritmética de Funciones Elementales (AFE), donde se permite +,×, x y y una forma débil de inducción para fórmulas con cuantificadores acotados. Esto es mucho más débil que la aritmética recursiva primitiva, que a su vez es mucho más débil que la aritmética de Peano, que a su vez es mucho más débil que la ZFC en la que trabajamos normalmente.
Sin embargo, parece que hay muy pocos teoremas (sobre números enteros) que se sepa que requieren algo más que este sistema increíblemente débil para demostrarlos. Los pocos teoremas que conozco que necesitan más que esto incluyen:
*Resultados de consistencia para varios sistemas más fuertes (siguiendo a Godel). Esto incluye resultados como el teorema de Paris Harrington y las secuencias de Goodstein que son formas inteligentemente disfrazadas de resultados de consistencia.
*Algunos resultados de la teoría de Ramsey, que dicen que cualquier cosa posible ocurrirá en un conjunto suficientemente grande. Ejemplos típicos: Gowers demostró una cota inferior muy grande para el lema de Szemeredi mostrando que no se puede demostrar en la aritmética de funciones elementales, y se sabe que el teorema menor del grafo de Robertson-Seymour requiere funciones tan grandes que es indemostrable en la aritmética de Peano.
No se me ocurre ningún resultado (sobre los números enteros) fuera de estas áreas (lógica matemática, variaciones de la teoría de Ramsey) que se sepa que requiera algo más que el EPT para ser demostrado. Una buena regla general es que cualquier cosa que implique torres de exponenciales no limitadas probablemente no sea demostrable en el EPT, y a la inversa, si no hay ninguna función tan grande, entonces uno podría sospechar que el resultado es demostrable en el EPT.
Así que mi pregunta es : ¿alguien conoce resultados naturales en las matemáticas "ordinarias" (teoría de los números, geometría algebraica, grupos de Lie, álgebras de operadores, geometría diferencial, combinatoria, etc...) en los que se produzcan de forma seria funciones mayores que una torre finita de exponenciales? En la práctica, esto es probablemente más o menos equivalente a pedir teoremas sobre los números enteros no demostrables en la EPT.
Enlaces relacionados: http://en.wikipedia.org/wiki/Grand_conjecture sobre Friedman haciendo una pregunta similar.
Por cierto, codificar resultados profundos como ecuaciones diofantinas y demás es hacer trampa. Y, por favor, no haga comentarios sugiriendo que el último teorema de Fermat necesita cardinales inaccesibles a menos que entienda la prueba de Wiles.