No sólo no sabemos la fecha, sino que ni siquiera sabemos si escribió el comentario. Por lo que sabemos, podría haber sido inventado por su hijo Samuel, que publicó los comentarios de su padre.
En sus cartas, Fermat nunca mencionó el caso general en absoluto, sino que planteó con bastante frecuencia el problema de resolver los casos $n=3$ y $n=4$ . Estoy casi seguro de que Fermat descubrió la descendencia infinita hacia 1640, lo que significa que en 1637 no tenía ninguna posibilidad de demostrar la FLT para el exponente 4 (y mucho menos en general).
En 1637, Fermat también enunció el teorema de los números poligonales y afirmó tener una prueba; esto es tan improbable como en el caso del FLT -- supongo que Fermat no fue muy cuidadoso en estos primeros tiempos.
Permítanme también mencionar que Fermat planteó el FLT para $n=3$ siempre como un problema o como una pregunta, y no afirmaba inequívocamente tener una prueba; mi interpretación es que no tenía una prueba para $n = 3$ y que sabía que no tenía ninguno.
Editar Permítanme citar brevemente dos cartas de Fermat:
I. Oeuvres II, 202--205, carta a Roberval de agosto de 1640 Fermat afirma que si $p = 4n-1$ sea primo, entonces $p$ no divide una suma de dos cuadrados $x^2 + y^2$ con $\gcd(x,y) = 1$ . Luego escribe
Tengo que admitir francamente que no he encontrado nada en la teoría de números que me haya gustado tanto como la demostración de esta proposición, y me complacería mucho que hicieras el esfuerzo de encontrarla, aunque sea aunque sea para saber si estimo mi invento más de lo que merece. merece.
Parece como si Fermat acabara de descubrir "su método" de descenso. Partiendo de $x^2 + y^2 = pr$ hay que demostrar que hay un primo $q \equiv 3 \bmod 4$ dividiendo $r$ que es estrictamente inferior a $p$ .
II. En su carta a Carcavi de agosto de 1659 (Oeuvres II, 431--436), Fermat escribe:
A continuación, consideré algunas cuestiones que, aunque negativas, sí no quedan para recibir una dificultad muy grande, pues se verá fácilmente que el método de aplicación de la descendencia es completamente diferente de las [preguntas] anteriores. Entre estos casos se encuentran los siguientes:
_* No hay ningún cubo que se pueda dividir en dos cubos.
- Sólo hay un número cuadrado que, aumentado por $2$ ,
hace un cubo, a saber $25$ .
- Sólo hay dos números cuadrados que, aumentados por $4$ , hacer un cubo, es decir $4$ y $121$ ._2. Todas las potencias al cuadrado de $2$ aumentada por $1$ son números primos.
Mi interpretación de esto es que Fermat enumera cuatro resultados que él cree que se pueden demostrar utilizando su método de descenso. En mi opinión esto implica que Fermat no tenía una prueba de FLT para el exponente $3$ en 1659.
Edición 2 A la luz de la discisión en wiki.fr dejar añadir un par de observaciones adicionales junto con la promesa de que una publicación no electrónica de mis puntos de vista sobre Fermat aparecerá. de mis puntos de vista sobre Fermat aparecerá en los próximos dos años (si puedo encontrar un editor).
Una búsqueda en google books de "hanc marginis" y Fermat para los años hasta 1900 revela varios resultados, ninguno de los cuales afirma que que la observación fue escrita alrededor de 1637; en particular, no hay fechas en las Oeuvres de Fermat o en el Diophantus de Heath. Empezando por historia de Dickson, esto cambia drásticamente, y actualmente la fecha 1637 parece estar firmemente unida a esta entrada.
La datación de la entrada parece provenir de una carta escrita por Fermat a J. de Sainte-Croix a través de Mersenne, mencionada en la respuesta de Nurdin. respuesta de Nurdin; esta carta no está fechada, pero como Descartes, en una carta a Mersenne de 1638, se refiere a un resultado que atribuye a Sainte-Croix pero que Fermat afirma haber descubierto, se cree que la carta de Fermat carta de Fermat a Mersenne fue escrita mucho antes de esa fecha. Las razones para de septiembre de 1636 no se explican en las Oeuvres de Fermat.
En esta carta, Fermat plantea el problema de encontrar dos cuartos potencias cuya suma sea una cuarta potencia, y de encontrar dos cubos cuya suma es un cubo. El razonamiento parece ser que en 1636, Fermat Fermat aún no había encontrado (o creía haber encontrado) una prueba del teorema general teorema general, por lo que la entrada debe haber sido escrita en una fecha posterior. Como no se refirió al teorema general en ninguna de sus cartas existentes, también se cree que pronto descubrió su error, por lo que la entrada no puede haber sido escrita en un momento en que Fermat era lo suficientemente maduro como para encontrar pruebas suficientemente difíciles.
Permítanme añadir que las siguientes fechas se pueden deducir de las cartas de Fermat:
- 1638 Los números 4n-1 no son sumas de dos cuadrados racionales
- 1640 El pequeño teorema de Fermat
- 1640 Descubrimiento del descenso infinito; utilizado para demostrar que (1) los primos 4n-1 no dividen las sumas de a los cuadrados.
- 1640 Enunciado del teorema de los dos cuadrados
- 1641 - 1645 Prueba de (2) FLT para el exponente 4
- más tarde: Demostración de (3) el teorema de los dos cuadrados
Es imposible atribuir ninguna fecha entre 1644 y 1654 a los descubrimientos de Fermat, ya que o bien no escribió casi ninguna carta en este periodo, o bien todas se han perdido.
Fermat afirmó haber descubierto la descendencia infinita en relación con resultados como (1), y que al principio sólo podía aplicarlo a afirmaciones negativas como la (2), mientras que le llevó mucho tiempo tiempo hasta que pudo utilizar su método para demostrar afirmaciones positivas afirmaciones positivas como la (3). Así, las pruebas de (1) - (2) - (3) se se encontraron en este orden.
Esto significa, en particular, que si la entrada de Fermat en su Diophantus fue escrita alrededor de 1637, entonces la prueba maravillosa debe haber sido una prueba que no utiliza el descenso infinito.
También me gustaría comentar que la ecuación de Fermat para los exponentes 3 y 4 ya había sido estudiada por matemáticos árabes, como Al-Khujandi y Al-Khazin, que intentaron demostrar que no hay no hay soluciones. La ecuación cúbica también aparece en problemas Frenicle y van Schooten en respuesta al desafío de Fermat a los matemáticos ingleses. desafío de Fermat a los matemáticos ingleses.
