Aquí es una afirmación que es verdadera en archimedian campos, pero no en general ordenó campos:
Para todos los $0 < a < b$ existe $x$ tal que $a < x^2 < b$.
Esto es cierto en archimedian campos, ya que cada arquímedes campo contiene $\mathbb{Q}$, y está contenida en $\mathbb{R}$, y de cada intervalo en $\mathbb{R}_{+}$ contiene el cuadrado de un racional.
Deje $K$ a ser el campo $\mathbb{R}(t)$, $f(t)>g(t)$ si $f-g$ es positivo para $t$ lo suficientemente grande. Me dicen que no hay plazas entre el$t$$t+1$. Prueba: Definir $\deg p(t)/q(t) = \deg p - \deg q$ donde $p(t)$ $q(t)$ son polinomios. A continuación, cada cuadrado tiene aún grado, pero cada elemento entre el $t$ $t+1$ tiene el grado $1$.
Generalmente trato de dar alguna pista de donde vine con estas respuestas. Vaga proceso de pensamiento aquí: quiero un no-arquímedes ordenó campo $R$ y una declaración de que es verdadero en tanto $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$, pero no en $R$. Por lo $R$ mejor NO ser real cerrada, porque la verdadera cerrado campos tienen el mismo primer orden de teoría de las $\mathbb{R}$, y mi declaración tuvo el mejor USO que $R$ no es real cerrada. Los axiomas de la real campos cerrados son todos acerca de la existencia, por lo que una declaración en la que se produce un error en un non-real-campo cerrado gustaría algo como $\exists x : \cdots$. Pero también tiene que ser verdadera en $\mathbb{Q}$, que tiene muy pocos elementos. ¿Cómo puedo hacer eso? Tal vez algo parecido a $\forall y \exists x : \cdots$; entonces sería cierto en $\mathbb{R}$ porque hay un montón de opciones para $x$, y la verdad en $\mathbb{Q}$ porque hay pocas opciones para $y$.
Así que quiero una ecuación, que depende de un parámetro, que siempre es solucionable en $\mathbb{Q}$, pero para un trivial razón. (Si es solucionable por un motivo trivial, de que la razón probablemente mantenga en todos los pedidos de campo.) Cómo acerca de $\forall y>0 \exists x_1, x_2, x_3, x_4 : y = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$? Eso es cierto en $\mathbb{Q}$, por razones triviales, y trivialmente cierto en $\mathbb{R}$, pero falso en $\mathbb{R}(t)$ debido a que las sumas de cuadrados incluso han degreee. No sé si es cierto, en otros campos de arquímedes, aunque. Aún así, la idea de utilizar el hecho de que las plazas son razonablemente distribuidos en $\mathbb{Q}$, pero sólo de la tierra en diferentes bultos, incluso de grado en $\mathbb{R}(t)$ suena como una buena...
