¿Tangentes desde un punto determinado, a un círculo?

Question

Tenemos una circunferencia de radio 2, centrada en el origen. Halla la ecuación de las rectas que pasan por el punto $(0,4)$ que son tangentes al círculo.

Así que tenemos el círculo $$x^2 + y^2 = 4$$

Necesitamos 2 líneas $$y=ax+4$$

Así que si rellenas eso en la ecuación del círculo, terminamos con $$a^2x^2 + 8ax + x^2 + 12 = 0 $$ .

Así que tendríamos que resolver $$ a = \dfrac{-8x \pm \sqrt{64x^2-4x^2(x^2+12)}}{2x^2}$$

Debo haber hecho algo mal, ya que esto hace que el discriminante sea negativo, y por lo tanto no da ninguna respuesta. ¿Hay alguna forma más inteligente que haya pasado por alto?

Answer 1

Supongamos que $A(x_1,y_1)$ es el punto del círculo donde se dibuja la tangente.

Entonces la ecuación de la tangente es $xx_1+yy_1=4$ . Desde $(0,4)$ pertenece a la tangente satisface su ecuación por lo que $0x_1+4y_1=4\rightarrow y_1=1$ .

A continuación, subtituye este valor a la ecuación del círculo

obtenemos $x_1^2+y_1^2=4\rightarrow x_1^2+1^2=4\rightarrow x_1=\sqrt3$ ou $x_1=-\sqrt3$ .

Así tenemos dos tangentes con ecuaciones:

$\sqrt3x+y=4$ y $-\sqrt3x+y=4$ .

Answer 2

Los valores de $x$ representa el abscisa de la intersección

La ecuación será $$(a^2+1)x^2+8ax+12=0$$

Para la tangencia, las raíces de la ecuación cuadrática anterior deben ser iguales, por lo que el discriminante debe ser $0$

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Alternativamente,

La ecuación de cualquier línea que pase por $(0,4)$ será $\frac{y-4}{x-0}=m\iff mx-y+4=0 $ donde $m$ es el gradiente

Ahora, la distancia perpendicular de una tangente desde el centro $(0,0)$ del círculo será $=$ radio $(=2)$

Answer 3

Puedes obtener los puntos tangentes haciendo la intersección entre la circunferencia y el círculo de radio $2$ centrado en $(2,0)$ (las líneas de uno de estos puntos a $(0,0)$ y desde el mismo punto hasta $(4,0)$ será perpendicular)

por lo que tiene

$$x^2 + y^2 = 4$$

y

$$(x-2)^2 + y^2 = 4$$

La coordenada x será la misma para los dos puntos, por lo que $$x^2 - 4 = (x-2)^2 -4$$ desde aquí se obtiene $x=1$ y $y^2=3$

Así que tienes los dos puntos de tangencia, y desde aquí puedes encontrar fácilmente las ecuaciones de las tangentes.