¿Cómo puedo factorizar? $4x^4-2x^3y-3xy^3-9y^4$ ?

Question

$$4x^4-2x^3y-3xy^3-9y^4$$ Intenté factorizar pero no pude en este escenario, ¿algún concepto o método para resolver esto?

Answer 1

La factorización a mano puede ser difícil en general, y a veces puedes notar pequeños patrones o trucos que puedes usar (esto viene con la práctica).

Un truco útil es reducir las cosas a una sola variable si es posible. Así que para nosotros, fíjate que puedes dividir todo por $y^4$ para obtener $$4t^4-2t^3-3t-9$$ donde $t:=\frac{x}{y}$ . T $x$ y $y$ de nuevo y recuerda multiplicar el $y^4$ atrás.

Incluso factorizando este polinomio en $t$ a mano puede ser complicado. En este caso podemos empezar con el teorema de las raíces racionales . Por ejemplo, se trataría de ver si $t=-1$ es raíz, que lo es. Así que puedes dividir por $t+1$ para obtener $$4t^4-2t^3-3t-9=(t+1)(4t^3-6t^2+6t-9).$$ Puedes proceder a encontrar una raíz de este cúbico con el teorema de las raíces racionales de nuevo, y entonces sólo te queda un cuadrático.

Answer 2

Nota

\begin{align} 4 t^4 - 2 t^3 - 3 t - 9 =& (4 t^4 - 9)- (2 t^3 +3 t )\\ =&(2 t^2 + 3) (2 t^2 - 3)-t (2 t^2 +3 )\\ =& (2 t^2 + 3) (2 t^2 - t- 3)\\ =& (2 t^2 + 3) (2 t- 3)(t+1)\ \end{align}

Answer 3

En el caso de los polinomios en más de una variable, hay que especificar qué se entiende por "factorización", ya que la cuestión se complica. Sin embargo, supongo que lo que se quiere decir es lo siguiente:

$$ 4x^4-2x^3y-3xy^3-9y^4= (2x-3y)(x+y)(2x^2+3y^2) $$

Answer 4

$$4x^{4}-2x^{3}y-3xy^{3}-9y^{4}$$

$$=\ 4x^{4}-xy(2x^{2}+3y^{2})-9y^{4}$$

$$=\ 4x^{4}-9y^{4}-xy(2x^{2}+3y^{2})$$

$$=\ (2x^{2}+3y^{2})(2x^{2}-3y^{2})-xy(2x^{2}+3y^{2})$$

$$=\ (2x^{2}+3y^{2})(2x^{2}-3y^{2}-xy)$$

Editar: Al parecer, todavía se puede factorizar para obtener lo que el otro cartel ha publicado.

$$ (2x^{2}+3y^{2})(2x^{2}-3y^{2}+2xy-3xy)$$

$$=\ (2x^{2}+3y^{2})(2x^{2}+2xy-3y^{2}-3xy)$$

$$=\ (2x^{2}+3y^{2})[2x(x+y)-3y(y+x)]$$

$$=\ (2x^{2}+3y^{2})(2x-3y)(y+x)$$