Número de Skyrmion

Question

El número de skyrmion se define como $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ donde $n$ es el índice topológico, $\mathbf {M}$ es el vector unitario en la dirección de la magnetización local dentro de la película magnética fina, ultrafina o a granel, y la integral se toma sobre un espacio bidimensional.

Se sabe que $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ y $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$ . En las configuraciones de skyrmion la dependencia espacial de la magnetización puede simplificarse estableciendo la variable magnética perpendicular independiente del ángulo en el plano ( $ \theta \left(r\right)$ ) y la variable magnética en el plano independiente del radio ( $ \phi \left(\alpha\right)$ ). Entonces el número de skyrmion dice: $$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$

Mi pregunta es: ¿es $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$ un producto de rizo y cuál es el resultado de este término? ¿Cómo llegar a la ecuación final entonces?

Answer 1

Es no un rizo. Esto puede verse expresando el rizo en componentes vectoriales. $$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Aquí $\partial_x$ denota la derivada parcial con respecto a $x$ . La cantidad $\partial_x\mathbf M$ es un vector igual que $\mathbf M$ . Tiene componentes $$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Calcular la cantidad $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ es entonces sólo cuestión de aplicar el producto cruzado. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$ Se trata de una expresión desalentadora y es probable que no se intuya mucho al ver los componentes. Lo que se puede decir al respecto es que $\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$ forma el producto triple vectorial . Esto da el volumen abarcado por (el paralelepípedo de) $\mathbf A,\mathbf B$ y $\mathbf C$ . Así que la cantidad que estás integrando es el volumen abarcado por $\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ y $\partial_y \mathbf M$ .

Para calcular la integral en su última ecuación es sólo cuestión de enchufar todo en mi última expresión para $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ . Esto es tedioso pero debería ser factible.

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EDITAR Voy a añadir algo más de información para que el cálculo sea menos tedioso. Las derivadas parciales se pueden expandir usando la regla de la cadena $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$ . Se puede calcular que son $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ A continuación, observe que $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ y $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$ . Si nombramos estos vectores de derivadas parciales $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ y $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ entonces el producto cruzado se convierte en $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Finalmente se puede calcular que $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ y deberías poder hacer este cálculo sin calcular explícitamente todos los componentes.

Y sí, deberías añadir el factor $r$ cuando se cambia a coordenadas polares como mencionas en tu comentario.