Falsas creencias sobre la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$

Question

Estoy tratando de desarrollar la intuición sobre la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ y me gustaría construir una lista de falsas creencias al respecto, por ejemplo: todo conjunto es medible, todo conjunto de medida cero es contable, la frontera de un conjunto tiene medida cero, etc. ¿Puedes ayudarme compartiendo tu experiencia o con alguna lista de referencias?

Answer 1

Cierto y loco: Existe un subconjunto $E$ de $[0,1]^2$ que se encuentra con cada línea (horizontal, vertical o inclinada) a lo largo de un subconjunto de medida cero de esa línea, de hecho, a lo largo de a lo sumo dos puntos (es decir, no hay tres puntos de $E$ están siempre alineados), pero tal que $E$ no tiene medida cero, de hecho, $E$ cumple con todo conjunto cerrado de medida positiva en $[0,1]^2$ . Además, podemos arreglar para que $E$ es la gráfica de una función.

Esto se debe a Sierpiński en 1920. Su prueba (en francés) puede ser se encuentra aquí ("Sobre un problema relativo a los conjuntos medibles superficialmente", Fondo. Matemáticas. 1 , 112-115). Es una inducción transfinita más o menos directa con longitud $2^{\aleph_0}$ .

Así que, en particular, no deberías creer que $\int_{[0,1]^2} f = 0$ se desprende de $\int_{[0,1]} f(x,y)\,dx = 0$ para cada $y$ y $\int_{[0,1]} f(x,y)\,dy = 0$ para cada $x$ (toma $f$ para ser la función característica de este $E$ ).

En una línea similar, utilizando la Hipótesis del Continuum, se puede encontrar $E \subseteq [0,1]^2$ que tiene medida $0$ en cada línea horizontal y $1$ en cada línea vertical (de hecho, tómese la gráfica de cualquier ordenación de $[0,1]$ con el tipo de pedido $\omega_1$ ).

Edición: Cabe destacar que el comportamiento patológico se debe a que los conjuntos resultantes no son medibles. En el caso de los conjuntos medibles no pueden ocurrir estas cosas debido al Teorema de Fubini.

Answer 2

Falsa creencia: Un arco simple en el plano (es decir, un subconjunto del plano que es homeomorfo al intervalo $[0,1]$ ) tiene medida de Lebesgue planar cero.