Falsas creencias sobre la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$

Question

Estoy tratando de desarrollar la intuición sobre la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ y me gustaría construir una lista de falsas creencias al respecto, por ejemplo: todo conjunto es medible, todo conjunto de medida cero es contable, la frontera de un conjunto tiene medida cero, etc. ¿Puedes ayudarme compartiendo tu experiencia o con alguna lista de referencias?

Answer 1

Falsa creencia: la imagen continua de un conjunto medible es medible.

Un contraejemplo es el siguiente la escalera del diablo . Como la imagen del conjunto de Cantor tiene medida completa, tendrá subconjuntos, aún medibles, que tienen imagen no medible. La misma función sirve también de contraejemplo a lo siguiente:

Falsa creencia: si una función continua tiene derivada cero en casi todas partes, entonces es constante.

Answer 2

Falsa creencia: un subconjunto de un intervalo que es a la vez abierto y denso tiene la medida del intervalo.

Un contraejemplo se obtiene enumerando los racionales en $[0,1]$ y poniendo un intervalo abierto de longitud $(1/3)^k$ alrededor del $k$ de la misma. La unión de estos intervalos es claramente densa porque contiene un conjunto denso (los racionales) como subconjunto, y es claramente abierta porque es una unión de intervalos abiertos. Pero mientras tanto, su medida de Lebesgue es $\leq \sum_1^\infty (1/3)^k = 1/2$ .

Answer 3

Más locura de Cantor:

La verdadera creencia:

Hay un conjunto medible $A$ en $[0,1]$ tal que para cualquier intervalo $U$ en $[0,1]$ , ambos $A\cap U$ y $A^c\cap U $ tienen una medida positiva.

Falsa creencia:

La imagen continua de un conjunto de medida 0 tiene medida 0.

Answer 4

Falsa creencia : Un subconjunto no denso de $\mathbb{R}$ tiene medida $0$ . (Permítanme recordar que un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$ se dice que ninguna parte densa si el interior de su cierre está vacío).

Dejo como ejercicio la explicación de por qué esto es realmente una creencia falsa.

Answer 5

Considere la siguiente afirmación (verdadera):

Si $(I_n)$ es una secuencia de subintervalos del intervalo unitario y la suma de sus longitudes es estrictamente menor que $1$ entonces el $I_n$ no cubra el intervalo de la unidad.

Falsa creencia: Esto se puede demostrar simplemente traduciendo $I_1$ para comenzar en $0$ Traduciendo $I_2$ para iniciar el fin de $I_1$ etc. Si esto funcionara, entonces lo mismo ocurriría con el intervalo de unidades en $\mathbb Q$ donde la afirmación es falsa.

Obviamente, no puedo afirmar que esto sea original; lo he sacado de MO .