Determinación del número de raíces no reales. Estrategia de elección múltiple.

Question

Estaba dando clases particulares a un estudiante y surgió esta pregunta en un simulacro de examen estandarizado. Supongamos que el estudiante ha aprendido pre-cálculo avanzado en un nivel de escuela secundaria y tiene acceso a una calculadora gráfica. La pregunta está pensada para ser resuelta en unos pocos minutos, como máximo.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene exactamente dos soluciones no reales?

(A) $\quad x^3-x^2+2x-2 = 0$

(B) $\quad x^3 -2x^2 -5x +6 = 0$

(C) $\quad x^4-7x^2+12=0$

(D) $\quad x^3-8x^2+11x+20=0$

(E) $\quad x^4-5x^3+x^2 +25x-30=0$

La primera estrategia que se me ocurrió es utilizar la Regla de los Signos de Descartes, pero esa prueba parece no ser concluyente. Un enfoque gráfico parece ser otra forma de abordarlo, pero me parece ineficiente, y no del todo fiable en un escenario de toma de pruebas, donde se puede manipular el tamaño de las ventanas y otras cosas.

La respuesta se cita como (A), y de hecho, la primera opción de respuesta puede ser fácilmente factorizada como $(x^2+2)(x-1)$ que lo verifica como solución (nota: no he comprobado las raíces de los otros polinomios). Pero, de nuevo, no espero que la factorización haya sido el enfoque previsto aquí.

¿Alguien ve un rápido método para resolver esto, o es una pregunta mal diseñada?

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Edición: Para seguir con esta pregunta. Efectivamente, Gregory tenía razón en los comentarios. Esta pregunta era de un examen de práctica de Matemáticas SAT II no oficial. Aunque el examen SAT II de Matemáticas no requiere una calculadora para ninguna de sus preguntas, no prohíbe el uso de una. Ni siquiera prohíbe los sistemas de álgebra computacional, como los de, por ejemplo, la TI-89. Ahora bien, este examen de práctica en particular fue construido con (algunas) preguntas diseñadas para entrenar a los estudiantes en el uso del software de álgebra.

No obstante, gracias por las soluciones sugeridas. Me gustan los métodos de cálculo y creo que mi alumno también los apreciará.

Answer 1

Si tu estrategia de examen es inteligente, intentarás eliminar primero las posibilidades más fáciles; aquí, eso significa mirar primero los cúbicos. Hoy en día, la precalificación avanzada menciona cómo tomar la derivada de un polinomio, así que puedes mirar (A) y descubrir que no tiene un mínimo o un máximo real, porque la derivada $$ 3x^2-2x+2 $$ tiene un discriminante de $b^2-4ac = 4-24 < 0$ . (Es decir, al tratar de resolver para $x$ utilizando la fórmula cuádrica, no se obtienen soluciones reales). Así que (A) es monótona creciente, y sólo puede tener un punto en el que cruza $y=0$ por lo que hay exactamente dos soluciones no reales.

FInalmente, utilizando el hecho de que se trata de una pregunta de examen con una única opción correcta, sabes que todas las demás tienen cero (o 4) soluciones no reales.

Answer 2

Si esto fuera un MCQ con una o más respuestas correctas Tendremos que comprobar todas las opciones (No has especificado explícitamente por eso estoy tomando el caso de prueba completa)

Dejemos que $f$ sea su función cúbica. Simplemente toma la derivada de cada función. Por las raíces de $f'$ (Que obviamente es una cuadrática en el caso de la cúbica .. ). Se obtendrá el punto de máximos y mínimos locales de $f$ Que estén en $x=\alpha$ y $x=\beta$ .

Ahora todo lo que tienes que hacer es comprobar la señal de $f(\alpha)$ y $f(\beta)$ (Supongamos que $\alpha > \beta$ y el coeficiente principal sea positivo).

Hay $4$ posibilidades :

• $f(\alpha) >0$ , $f(\beta) >0 \implies$ la función gira por encima de $x$ -eje y por lo tanto sólo una raíz real, los otros dos son complejos.

• $f(\alpha) > 0$ , $f(\beta) <0 \implies$ la función gira por encima de $x$ -eje y de nuevo por debajo $x$ -y, por tanto, sólo tres raíces reales.

• $f(\alpha) <0$ , $f(\beta) <0 \implies$ la función se convierte en lo siguiente $x$ -eje y ambos los tiempos por lo tanto sólo una raíz real, el resto dos son complejos ..

• $f(\alpha) <0$ , $f(\beta) >0~$ Nunca es posible.

• Si $f'$ no tiene raíces reales $\implies$ la cúbica es monótonamente creciente Por lo tanto, una raíz real (repetida).

Este método funciona bien para los polinomios cúbicos.

Para la bi-cuadrática dada en la opción $(C)$ es en realidad una cuadrática en $x^2$ .

Para la opción biquadrática en $(E)$ Tendremos que factorizarlo como $(x^2-5x+6)(x^2-5)$ (como ha hecho @dxiv en su respuesta).

El resto son todos cúbicos.

Answer 3

Pistas para los cuárticos:

• (C) $\;x^4-7x^2+12=0$  Se trata de una bicuadrática, es decir, una cuadrática en $x^2\,$ . Por el discriminante y la regla de los signos es fácil saber que tiene dos raíces positivas en $x^2\,$ Por lo tanto $4$ raíces reales en $x$ .

• (E) $\;x^4-5x^3+x^2 +25x-30=x^4-5x^3+6x^2 - 5\cdot (x^2-5x+6)\,$ .