Constante Bi-Lipschitz de la parametrización de la longitud de arco de la curva convexa

Question

Supongamos que $f:[0,2\pi]\to [0,2\pi]$ es un difeomorfismo creciente, y sea $\underline f = \min f'$ y $\overline f = \max f'$ y definir $$g(s) = \int_0^s e^{if(t)} dt.$$ Supongamos que $g(0)=g(2\pi)$ . Parece que $$\underline f \le \frac{|g(x)-g(y)|}{|e^{ix}-e^{iy}|}\le \overline f,$$ pero no tengo el chorro de pruebas.

Answer 1

Tome $f(x)=k\log(x+1)$ donde $k=2\pi/\log(2\pi+1)$ Por lo tanto $f$ es un difeomorfismo. El máximo de la derivada se alcanza cuando $x=0$ y es $k\approx 3.1644$ . Por otro lado, tomar $x=\pi/3$ , $y=\pi/3-1$ obtenemos

$$ \frac{|g(x)-g(y)|}{|e^{\mathrm{i}x}-e^{\mathrm{i}y}|}> \frac{2}{0.2}=10.$$

Editar: Como señaló Chistian en un comentario, con la función $f$ definida por encima de la función $g$ no satisfacen $g(0)=g(2\pi)$ .

Ahora, podemos elegir $f(x)=-x+2\pi$ . Para $g(2\pi)$ obtenemos

$$g(2\pi)=\int_0^{2\pi}e^{-\mathrm{i}x+2\pi\mathrm{i}}=\int_0^{2\pi}e^{-\mathrm{i}x}=0.$$

La derivada es $-1$ y

$$ \frac{|g(x)-g(y)|}{|e^{\mathrm{i}x}-e^{\mathrm{i}y}|}=1.$$

Esto no es una sorpresa si pensamos en el cociente anterior como

$$ \left|\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\frac{x-y}{e^{\mathrm{i}x}-e^{\mathrm{i}y}}\right|.$$ Si la estimación es cierta, entonces $\underline{f}\leq|g^\prime(x)|\leq \overline{f}$ por cada $x\in(0,2\pi)$ . Pero $|g^\prime(x)|=|f^\prime(x)|$ . Pensaré en el caso de que $\underline{f}=\min |f^\prime|$ y $\overline{f}=\max |f^\prime|$ .

Answer 2

Esto no es realmente una solución completa, contiene posiblemente un reto ejercicios para el lector, pero tengo alguna esperanza de que se pueda hacer una prueba completa de esto. También voy a abordar sólo el límite inferior.

La función $g(t), 0\le t\le 2\pi$ define una curva cerrada en el plano. Está parametrizada con respecto a la longitud de arco, y su curvatura viene dada por $f'(t)$ . Por supuesto, $a\le f'\le b$ (por lo que la curva también es convexa).

Para el límite inferior, nos interesa lo pequeño que es $|g(x)-g(0)|$ puede llegar a ser bajo estas restricciones: la curvatura $\ge a$ La pieza en cuestión tiene una longitud $x$ y la longitud total es igual a $2\pi$ .

Parece intuitivamente plausible que el mínimo se alcance para una curva tipo fútbol americano que obtenemos pegando dos arcos circulares de radio $R=1/a$ y la longitud $\pi$ cada uno. (Aunque no sé cómo demostrarlo formalmente.) Esta curva no es suave en los puntos de encolado, pero por supuesto podemos aproximar por curvas suaves, así que esto no es un problema.

La distancia mínima $|g(x)-g(0)|$ se consigue considerando las distancias paralelas al pequeño eje de simetría de nuestro balón. Obsérvese también que si llevamos estos dos puntos $g(0),g(x)$ más cerca aún moviendo (partes de) nuestros arcos circulares, entonces no sería posible cerrar la curva con otro arco de longitud $2\pi -x$ y al mismo tiempo mantener la curvatura $\ge a$ en todo. (Por supuesto, no podemos demostrar la afirmación sin hacer uso de esta característica no local del problema).

Si se traga todo esto, el resto se deduce por cálculo directo. Por geometría elemental, $$ G(x):=|g(x)-g(0)| = 2R \left( \cos\frac{\pi -x}{2R} - \cos \frac{\pi}{2R} \right) . $$ Queremos demostrar que esto es $\ge$ $$ H(x):=a|e^{ix}-1| = \frac{2}{R}\, \sin (x/2) . $$ Para $x=\pi$ Esto se reduce a demostrar que $$ 2R^2 \sin^2 \frac{\pi}{4R} \ge 1 , $$ o, de forma equivalente, $\sin\delta\ge (\sqrt{8}/\pi)\delta$ para $0<\delta\le \pi/4$ que (casi) funciona. El límite superior de $\delta$ se debe al hecho de que $R=1/a\ge 1$ .

He demostrado que $H(\pi)\ge G(\pi)$ y obtener que $H(x)\ge G(x)$ también para el general $0<x<\pi$ Puedo comparar las derivadas: no es difícil comprobar que $H'\le G'$ en este rango para un $R\ge 1$ .