Las derivadas del logaritmo de una función generadora de momentos

Question

Dejemos que $M_{X}(t)$ sea un mgf de $X$ . Demuestre que la primera derivada de $\ln M_{X}(t)$ en $t=0$ es $\mathbb{E}[X]$ y la segunda derivada de $\ln M_{X}(t)$ en $t=0$ es $\text{Var}[X]$

No estoy del todo seguro de que esta afirmación sea correcta porque lo que aprendí en clase fue que si tomamos la $n$ derivada de $M_x(t)$ en $t=0$ entonces obtenemos la expectativa de $X$ . Pero una vez que se pone en algo la $\log$ función parece que esta afirmación ya no funciona. Adicionalmente tengo algo así como el integrando sobre la integral, lo cual no parece tener ningún sentido.

¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

$\newcommand{\deriv}[2]{\dfrac{\text{d}}{\text{d}#1}\left[#2\right]}$

1. $$\frac{d}{dt}{\ln M_{X}(t)}|_{t=0} = \frac{M^{'}_{X}(t)}{M_{X}(t)}|_{t=0} = \frac{M^{'}_{X}(0)}{M_{X}(0)} = \frac{E[X]}{1}$$

2. $$\begin{align}\frac{d^2}{dt^2}{\ln M_{X}(t)}|_{t=0} &= \deriv{t}{\frac{M^{'}_{X}(t)}{M_{X}(t)}}|_{t=0}\\ &= \frac{M_{X}(t)M^{''}_{X}(t) - (M^{'}_{X}(t))^2}{(M_{X}(t))^2}|_{t=0}\\ &= \frac{M_{X}(0)M^{''}_{X}(0) - (M^{'}_{X}(0))^2}{(M_{X}(0))^2} \\ &= \frac{(1)E[X^2] - (E[X])^2}{(1)} \end{align}$$

Answer 2

$\newcommand{\deriv}[2]{\dfrac{\text{d}}{\text{d}#1}\left[#2\right]}$ Sugerencia (no es una solución completa): $$\deriv{t}{\ln M_{X}(t)} = \dfrac{M^{\prime}_{X}(t)}{M_{X}(t)}$$ y utilizar la regla del cociente para tomar la segunda derivada de $\ln M_{X}(t)$ .