¿La continuidad de la composición de mapas da continuidad a la función de la izquierda?

Question

Supongamos que $\;F:\Bbb R^2\to\Bbb R\;$ es tal que para cualquier continuo camino $\;\gamma:[0,1]\to\Bbb R^2\;$ la composición $\;F\circ \gamma:[0,1]\to\Bbb R\;$ es continua . Es entonces $\;F\;$ ¿constante? El remarcado continuo Lo anterior es parte de la pregunta, no de mí.

Ahora, estoy muy atascado en esto aunque estoy bastante seguro de que la afirmación es falsa, pero no tengo ningún contraejemplo. Los ejemplos "habituales" de funciones discontinuas en el origen no parecen funcionar, y creo que tal vez alguna forma extraña de pasar al límite (en el origen o en otro lugar) podría ayudar aquí.

Answer 1

La afirmación es cierta.

Supongamos que $F$ no es continua, por lo que, sin pérdida de generalidad, es discontinua en $0$ y $f(0)=0$ . Por lo tanto, hay algo de $\epsilon>0$ tal que para cada $\delta>0$ hay algo de $x\in B(0,\delta)\subset\mathbb{R}^2$ con $|F(x)|>\epsilon.$ Para cualquier $n$ dejar $x_n\in B(0,1/2^n)$ tal que $|F(x)|>\epsilon$ . Sea $c$ sea el polígono infinito que conecta cada $x_n$ a $x_{n+1}$ por el segmento recto entre ellos. Por construcción, $c$ es de longitud finita, y obviamente se acerca al origen a medida que $n\to\infty.$ Ahora toma $\gamma$ para ser la parametrización de la longitud de arco de $c$ con el origen como punto final. Se trata efectivamente de una trayectoria continua, y la composición $F\circ\gamma$ no es continua.