Resolución de la difusión en estado estacionario con decaimiento no lineal

Question

Quiero resolver la difusión en estado estacionario con término de producción constante (en la fuente $[-L_s, 0]$ ) y un término de degradación no lineal, donde la degradación tiene lugar en todo el dominio $[-L_s, L]$ pero la producción sólo tiene lugar si $x<0$ . Esto está garantizado por la función de Heaviside $H(x)$ . Así que si $x<1$ entonces $H(x) = 1$ .

Parámetros: $D$ Coeficiente de difusión, $\alpha$ tasa de degradación, $p$ tasa de producción y $n>1$ . $D, \alpha, p$ son todos constantes.

La ecuación es la siguiente:

\begin{equation} 0 = D\Delta C(x) - \alpha C(x)^n + p H(x < 0). \end{equation}

Impongo flujo cero en los extremos respecitvos del dominio. Digamos que $L_s$ es el inicio del dominio de origen (lado izquierdo del dominio) y $L$ es el lado derecho del dominio entonces,

\begin{equation} \frac{\partial C(L_s)}{\partial x} = 0 = \frac{\partial C(L)}{\partial x}. \end{equation}

Me preguntaba si tal vez se podrían utilizar métodos diferentes a, por ejemplo, las transformaciones de Laplace para resolver la ecuación, ya que no es lineal.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Bienvenido a la pila de matemáticas. 1. Deberá especificar si $C$ debe ser continua en $0$ (probablemente sí) y lo mismo para $C'$ (quizás también sí). Su ecuación asegura entonces que $C''$ no será continua en $0$ . 2. La difusión en estado estacionario en una dimensión trae a la mente cosas simples como las constantes, y de hecho hay un valor constante, fácil de encontrar, que satisface el requisito del lado izquierdo. Esa podría ser o no la respuesta parcial correcta, y no lo sabrás hasta que resuelvas más sobre el lado derecho. 3. En el lado derecho, tu ecuación sólo dice $DC'' = \alpha C^n$ . Una primera integral se puede encontrar multiplicando primero por $C'$ y luego integrar. 4. Después viene una EDO no lineal pero de primer orden, que probablemente tendría que hacerse numéricamente.