¿Qué tiene de especial $\alpha=-1$ en la integral de $x^\alpha$ ?

Question

Por supuesto, es fácil ver que la integral (o la antiderivada) de $f(x) = 1/x$ es $\log(|x|)$ y por supuesto para $\alpha\neq - 1$ la antiderivada de $f(x) = x^\alpha$ es $x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$ .

Me preguntaba si existe una forma intuitiva (probablemente geométrica) explicación de por qué el caso $\alpha=-1$ es tan diferente y por qué aparece el logaritmo aparece?

Algunas respuestas que he pensado pero que no me convencen:

1. Tomar el límite $\alpha=-1$ ya sea desde arriba o desde abajo conducen a funciones divergentes.

2. Alguna especialidad del caso $\alpha=-1$ son que ambas asíntotas son no integrables. Sin embargo, la antidrivativa es algo local, y por lo tanto, no debería importar el comportamiento en el infinito.

Answer 1

Dejemos que $b>a>0$ . Tampoco $$lim_{b\to\infty}\int_a^b x^{\alpha}dx$$ ni $$lim_{a\to 0}\int_a^b x^{\alpha}dx$$ convergen para $\alpha=-1$ . Para cualquier otro $\alpha$ al menos uno de los límites existe.

$\log(x)$ también llega al infinito para $x$ hasta el infinito y para $x$ que va a cero. Así que es un candidato a considerar para la antiderivada. Para una función de potencia de la forma $cx^\beta$ Sin embargo, al menos una vía va a cero. Por lo tanto, un $cx^\beta$ no puede ser "la" antiderivada en toda la recta real.

Answer 2

En la expresión $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ cuando $\alpha=-1$ , entonces estás dividiendo por $0$ . Si entiendes por qué puedes dividir por cualquier otro número pero no por $0$ Entonces, eso te da inmediatamente una razón para esperar que la respuesta sea muy diferente en ese caso.

(Me sorprende ver que este comentario está ausente en las demás respuestas).