Encontrar el valor del producto infinito $\prod \Bigl(1-\frac{1}{n^{2}}\Bigr)$

Question

Mientras intentaba algunos problemas junto con mis amigos tuvimos dificultades en esta pregunta.

• Verdadero o falso: El valor del producto infinito $$\prod\limits_{n=2}^{\infty} \biggl(1-\frac{1}{n^{2}}\biggr)$$ es $1$ .

No pude hacerlo y mi amigo lo justificó diciendo que como los términos del producto tienen valores menores que $1$ por lo que el valor del producto nunca puede ser $1$ . No sé si esta justificación es correcta o no. Pero me he referido a Tom Apostol's libro de Análisis Matemático y encontró un teorema que dice, que

• El producto infinito $\prod(1-a_{n})$ converge si la serie $\sum a_{n}$ converge.

Esto asegura que el producto anterior converge. ¿Podría alguien ayudarme a averiguar a dónde converge? Y,

• ¿Existe una función $f$ en $\mathbb{N}$ ( como $n^{2}$ , $n^{3}$ ) tal que $\displaystyle \prod\limits_{n=1}^{\infty} \Bigl(1-\frac{1}{f(n)}\Bigr)$ tiene el valor $1$ ?

Answer 1

Podrías usar el producto infinito para la función seno que dice que: $$\sin(x)=x\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{x^2}{\pi^2n^2})$$ O: $$\frac{\sin(x)}{x(1-\frac{x^2}{\pi^2})}=\prod_{n=2}^\infty (1-\frac{x^2}{\pi^2n^2})$$ Entonces, para su problema, sólo tiene que añadir $\lim_{x\rightarrow\pi}$ a la ecuación y resuelve.