Resolver un sistema de ecuaciones sobre un anillo conmutativo finito

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo finito con $1$ . Supongamos que $u$ es un $5$ raíz de la unidad en $R$ tal que $u - 1$ es una unidad en $R$ .

Del siguiente sistema,

$x_1 = x_2 + x_3 + x_4 + x_5, \\ ux_1 = u^3x_2 + u^2x_3 + u^4x_4 + x_5 \\ u^2x_1 = ux_2 + u^4x_3 + u^3x_4 + x_5 \\ u^3x_1 = u^4x_2 + ux_3 + u^2x_4 + x_5 \\ u^4x_1 = u^2x_2 + u^3x_3 + ux_4 + x_5 $

¿Puede alguien demostrar que la solución de este sistema sobre el anillo $R$ es único que es $(0,0,0,0,0)$ ?

Ya he comprobado que este sistema sólo tiene una solución que es $(0,0,0,0,0)$ si trabajamos sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ .

Answer 1

La suposición de que $R$ es finito es innecesario. Obsérvese que como $$0=u^5-1=(u-1)(u^4+u^3+u^2+u+1)$$ et $u-1$ es una unidad, $u^4+u^3+u^2+u+1=0$ . Además, como $$(u-1)^5=u^5-5u^4+10u^3-10u^2+5u-1=5(-u^4+2u^3+2u^2+u),$$ $5$ es una unidad en $R$ .

Ahora observa que la suma de tus cinco ecuaciones hace que todos los coeficientes menos uno se conviertan en $u^4+u^3+u^2+u+1=0$ , por lo que obtenemos $5x_5=0$ y por lo tanto $x_5=0$ . Si multiplicamos la segunda ecuación por $u$ la tercera ecuación por $u^2$ la cuarta ecuación por $u^3$ y la quinta ecuación por $u^4$ y luego los sumamos, obtenemos de forma similar $x_4=0$ . De la misma manera (multiplicando las ecuaciones por potencias de $u^2$ , entonces las potencias de $u^3$ , entonces las potencias de $u^4$ ), obtenemos $x_3=0$ , $x_2=0$ y $x_1=0$ .