Preguntas muy básicas sobre las normas de la cadena y las normas de los productos

Question

Tengo serias lagunas en matemáticas y me gustaría hacer algunas preguntas básicas.

1. Sé que existe la siguiente regla de la cadena para la primera derivada: $$ Dh(x) = Dg(f(x))Df(x)\quad\quad (1) $$ donde $h(x) = g(f(x))$ con $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ et $g:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ . También existe la siguiente regla para la segunda derivada: $$ \nabla^2h(x) = g'(f(x)) \nabla^2 f(x) + g''(f(x)) \nabla f(x)\nabla f(x)^\top, \quad\quad (2) $$ pero restringido a $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ et $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Mi pregunta: ¿existe alguna regla de la cadena para la segunda derivada en el caso general? $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ et $g:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ ?

2. Traté de probar $(2)$ utilizando $\nabla^2h(x) = D\nabla h(x)$ : Desde $(1)$ tenemos $\nabla h(x)= g'(f(x)) \nabla f(x)$ . Ahora necesitamos calcular la derivada de un producto, lo que implica mi segunda pregunta: ¿existe una regla del producto para $D(fg)(x)$ donde $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ et $g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ?

3. ¿Existe una regla del producto (punto) para $D(f\cdot g)(x)$ donde $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ et $g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ?

4. ¿Podría sugerir un libro de texto con teoría completa (teoremas y pruebas) y muchos ejemplos y/o problemas con soluciones (sobre el cálculo de la derivada)?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Para las preguntas 2) y 3):

su pregunta está dirigida a través del mismo argumento: si $B$ es un mapa bilineal continuo, es diferenciable y $$ DB(x,y) = B(Dx,y) + B(x,Dy). $$

Aquí tienes el mapa $(x,y)\to xy$ (o $x\cdot y$ ) y $$ D(f\cdot g) = (Df)\cdot g + f\cdot Dg. $$