¿Cómo demostrarlo sin recurrir a la cardinalidad?
$ A \cup \{a\} \approx B \cup \{ b \} \Rightarrow A \approx B $
Donde por " $ \approx $ " Me refiero a que existe una función biyectiva entre A y B (llamada equipolencia, equipotencia, equinumerosidad). Parece bastante obvio porque, si sacas esos elementos adicionales, entonces tienes la misma cardinalidad en ambos lados. El problema es que tengo que encontrar una manera de demostrarlo utilizando la definición de biyección.
Así que mi suposición es que sé que $ \exists f: (A \cup \{a\}) \rightarrow (B \cup \{ b \}) $ que es biyectiva. Así que debe existir $g: \{a\} \rightarrow \{ b \} $ que es claramente biyectiva, por lo que $\exists h: A \rightarrow B $ que también es biyectiva. El problema con este razonamiento es que, no sé realmente si esto es cierto. ¿Qué pasa si la función biyectiva prometida empareja algún elemento de $A$ con $\{b\}$ y $\exists! x\in A , y \in B/ (x,y) \notin f$ . ¿Es esto un problema? O puedo asumir que esta función biyectiva emparejará cada elemento de $A$ con cada elemento en $B$ y $\{a\}$ con $\{b\}$ ?
Edit : Para evitar confusiones, voy a añadir algo de contexto. Esto es parte de una prueba más grande, a saber: $ A \sqcup \{u\} \approx B \sqcup \{u\} \Rightarrow A \approx B $ , donde $\sqcup$ es la unión disjunta. Esto es lo mismo que decir:
$ (A \times \{a\}) \cup \{(u,b)\} \approx (B \times \{c\}) \cup \{(u,d)\} \Rightarrow A \approx B $
Donde $ a \neq b \wedge c \neq d $
En la pregunta original estoy usando $a$ en lugar de $\{(u,b)\}$ , $b$ para $\{(u,d)\}$ ; $A$ para $(A \times \{a\})$ y $B$ para $(B \times \{c\})$
Creo que es seguro asumir que, sabiendo esto, el original $a$ no puede pertenecer al original $A$ y así sucesivamente.
