¿Es el conjunto $M=\{[x,y,z]\in{\mathbf R}^3 :\ x^2 + y^2 +z^2 + xy + yz + xz = 1,\ x \ge 0,\ y \ge 0\}$ ¿compacto?

Question

¿Cómo puedo demostrar que el conjunto

$$ M=\{[x,y,z]\in{\mathbf R}^3 :\ x^2 + y^2 +z^2 + xy + yz + xz = 1,\ x \ge 0,\ y \ge 0\} $$

¿es compacto?

El conjunto es aparentemente cerrado (ya que no puede ser abierto dado que la condición que define $M$ es una función continua).

El ejercicio consiste en calcular los extremos de

$$ f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

sobre este conjunto. Simplemente asumiendo que es compacto, sospecho que el máximo se alcanza para los puntos en ${\mathbf R^3}$ satisfaciendo

$$ x^2 + xy + y^2 = 1\quad {\rm and}\quad z = -(x+y). $$

Eso es lo que necesito. El cálculo no fue difícil usando el método de los multiplicadores de Lagrange asumiendo $M$ era compacto, pero no estoy seguro de cómo proceder para demostrar que realmente lo es.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Me he dado cuenta de que para $z \ge 0$ Esto es sencillo ya que todos los términos de la primera condición que definen $M$ son mayores o iguales a cero, por lo que se cumple que

$$ x^2 + y^2 +z^2 + xy + yz + xz \ge x^2 + y^2 + z^2 $$

y así $M_{z \ge 0} \subset B([0,0,0], 1)$ . Pero para el $z < 0$ no veo por qué el conjunto está acotado; seguramente es tan fácil como el primer caso.

Answer 1

Desde $$f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx={1\over2}\bigl((x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2\bigr)$$ se deduce que $$x^2+y^2+z^2\leq 2f(x,y,z)=2\qquad\forall\ (x,y,z)\in M\ .$$ Esto demuestra que $M$ es (no sólo cerrado, sino) también acotado, y por tanto compacto.

Answer 2

Tenga en cuenta que $x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz = {\bf x}^TA{\bf x}$ donde ${\bf x} = [x\ \ y\ \ z]^T$ y

$$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}.$$

Como $A$ es simétrica, podemos diagonalizar ortogonalmente $A$ . Es decir, podemos encontrar una matriz ortogonal $P$ tal que $P^TAP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ donde el $\lambda_i$ son los valores propios de $A$ . Realización del cambio de variables ${\bf x} = P{\bf\hat{x}}$ la ecuación ${\bf x}^TA{\bf x} = 1$ se convierte en ${\bf \hat{x}}^T\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3){\bf\hat{x}} = 1$ . Escribir ${\bf\hat{x}} = [\hat{x}\ \ \hat{y}\ \ \hat{z}]$ esto se convierte en $\lambda_1\hat{x}^2 + \lambda_2\hat{y}^2 + \lambda_3\hat{z}^2 = 1$ . Esta es la forma estándar de determinar el tipo de una cuádrica.

En este caso, $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = \lambda_3 = \frac{1}{2}$ (el orden de los valores propios no es particularmente importante), por lo que la ecuación se convierte en $2\hat{x}^2 + \frac{1}{2}\hat{y}^2 + \frac{1}{2}\hat{z}^2 = 1$ . El conjunto de puntos $(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})$ que satisfacen esta ecuación es un elipsoide que es compacto.

Así que $E = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz+ xz = 1\} = \{(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) \mid 2\hat{x}^2 + \frac{1}{2}\hat{y}^2 + \frac{1}{2}\hat{z}^2 = 1\}$ es compacto, en particular, cerrado y acotado. Como $C = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0\}$ está cerrado, $M = E\cap C$ está cerrado, y como $M \subset E$ et $E$ está acotado, $M$ está acotado. Por lo tanto, $M$ es compacto.

Answer 3

Definamos $h(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + xz$ . La condición en cuestión para $M$ es que para $[x,y,z] \in M$ sostiene que $h(x,y,z) = 1$ .

Para $z \ge 0$ sabemos que el conjunto $M_{z \ge 0}$ se ajusta a una bola de la unidad. La parte del juego para $z \le 0$ es un punto de reflexión de $M_{z \ge 0}$ porque $h(x, y, z) = h(-x, -y, -z)$ . Así que la otra parte encaja en una bola de la unidad también.

(Para cualquier punto con $z$ negativo, podemos encontrar un punto con $z$ positivo y hemos demostrado que todos esos puntos se encuentran en una bola unitaria).