Una versión incompatible de Jensen principio $\diamondsuit$

Question

En la página 93 de Kunen del libro, el ejercicio 55 dice:

Demostrar que la siguiente versión de $\diamondsuit$ es incoherente: Hay$A_\alpha \subset \alpha$$\alpha < \omega_1$, de tal manera que para todos los estacionario $A\subset \omega_1$, $\exists \alpha \in A (A \cap \alpha=A_\alpha)$.

Sé que hay una versión de este principio de tomar cerrado ilimitado de conjuntos, pero, ¿por qué no podemos usar estacionaria? ¿Por qué es esta versión de Jensen principio $\diamondsuit$ incoherente?

Answer 1

Veo que me olvidé por completo de publicar mi propia solución revisada. Ya que es completamente diferente de jolubo, todavía puede ser de algún interés.

Parece que hay un pequeño error en el enunciado del problema: esta versión de $\diamondsuit$ es trivialmente cierto si se toma todos los $A_\alpha$ a estar vacío. Voy a suponer que al menos uno de los $A_\alpha\ne\varnothing$; si $S=\{\alpha\in\omega_1:A_\alpha\ne\varnothing\}$, esto implica que $S$ es estacionaria. Para ver esto, supongamos que $C$ es un cachorro de disjunta de a $S$. Fix $\alpha_0\in S$ arbitrariamente, y deje $A=\{\alpha_0\}\cup(K\setminus\alpha_0)$. Claramente $A$ es estacionaria, sino $A\cap\alpha_0=\varnothing\ne A_{\alpha_0}$, y si $\alpha_0<\alpha\in A$,$A\cap\alpha\ne\varnothing=A_\alpha$. Por lo tanto, no $C$ puede existir.

Revisado: Suponga que una secuencia existe. De forma recursiva definir una función $\varphi:\omega_1\to 2$ mediante el establecimiento $\varphi(0)=1$, e $\varphi(\eta)=1$ fib $\{\xi<\eta:\varphi(\xi)=1\}\ne A_\eta$$0<\eta<\omega_1$. Vamos $$X=\{\xi\in\omega_1:\varphi(\xi)=1\}\;;$$ by construction $X\cap\xi\ne A_\xi$ for $\xi\en X$, so $X$ is non-stationary, and $Y=\omega_1\setminus X$ is stationary (indeed, contains a cub). Thus, $S\cap\eta=A_\eta$ for some $\eta\Y$. But $\eta\Y$ implies that $\varphi(\eta)=0$, so $$A_\eta=\{\xi<\eta:\varphi(\xi)=1\}=X\cap\eta=\eta\setminus Y\;.$$ This contradiction establishes the inconsistency of this version of $\diamondsuit$.

Answer 2

Curiosamente, dicha secuencia no existen en la realidad. Simplemente deje $A_\alpha = \emptyset$ por cada $\alpha$, entonces para cualquier conjunto estacionario, por lo menos el elemento que hace que el derecho de adivinar.

Así que tenemos que asumir algún tipo de nontriviality, dicen, $A_\alpha \neq \emptyset$ para stationarily muchos $\alpha$.

Ahora bien, por Fodor, Lema, el menor elemento de a $A_\alpha$ es constante para stationarily muchos $\alpha$. Decir, $\min{A_\alpha} = \beta$ al $\alpha \in S$, e $S$ es estacionaria.

Pero $S \setminus \{\beta\}$ es estacionaria así, sin embargo, no puede ser adivinado por $A_\alpha$ al $\alpha \in S$.

Answer 3

Por supuesto (ya $\omega_1$ sí es estacionaria), el conjunto

$S=\{\alpha<\omega_1:A_\alpha=\alpha\}$

es estacionaria.

Claramente $S$ no la igualdad de todos los de $\omega_1$, así que elige $\beta<\omega_1$ con

$S\cap\beta\neq\beta$.

El conjunto $S\setminus\beta$ es inmóvil, y así hay un $\alpha\in S\setminus\beta$ con

$S\cap\alpha=A_\alpha$.

Por elección de $S$,$S\cap\alpha=\alpha$, pero $\beta\leq\alpha$ y tenemos una contradicción.

Edit: Respondió demasiado rápido-veo que no entendí el principio (no a priori de la garantía de un conjunto estacionario de éxito conjeturas). Arreglará si tengo tiempo.