Encontrar el cociente de la diferencia para $f(x) = \sin x$

Question

Necesito usar el cociente diferente:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

para demostrar que

$f(x) = \sin(x)$

se simplifica a

$\cos(x) \frac{\sin(h)}{h} + \sin(x) \frac{\cos(h)-1}{h}$

¿Cómo lo hago? Ya lo he hecho, trabajando desde el punto de partida,

$\frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}$

pero no sé a dónde ir desde allí. Gracias.

EDITAR:

Siguiendo una pista del primer comentario, ahora tengo

$\frac{(\sin(x))(\cos(h) - 1)}{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h}$

Answer 1

Las cosas son mucho más fáciles si elegimos usar Fórmula de la prostaféresis ,

$$\sin(x+h)-\sin x=2\sin\dfrac h2\cos\dfrac{2x+h}2$$

y utilizar $\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u=1$